Question

Udowodnij tożsamość trygonometryczną.
Bardzo proszę o pomoc z ćwiczeniem 2.

Answer 1

2a ) sin^2 x + 2 sin x cos x + cos^2x + sin^2 x - 2 sinx cos x + cos^2 x = 2
jak odejmiemy te 2 sin x cos x od 2 sin x cos x , to zostanie
2 sin^2x + 2 cos^2 x = 2
A wiemy, że sin^2 x  cos ^ 2 x = 1
Więc można to podzielić stronami przez 2 i wyjdzie właśnie ten wzór
b) widzimy, że jest tutaj wykorzystany wzór skróconego mnożenia, a więc :
( sin^2 x + cos^2 x ) ( sin^2x - cos^2 x ) = sin^2 x - cos^2 x
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że sin^2 x + cos^2x = 1
Więc zostanie nam tylko:
1 * ( sin^2x - cos^2 x ) = sin^2 x - cos^2 x
czyli
( sin^2x - cos^2 x ) = sin^2 x - cos^2 x
d) znowu z jedynki:
sin^2 x  cos ^ 2 x = 1
czyli :
sin^2 x = 1 - cos^2 x
czyli podstawiając do wzoru mamy:
sin^2 x / sin x cos x = tg x
sinus się skróci
i zostanie:
sinx / cos x = tg x
A właśnie tyle wynosi tangens
c) wiemy, że
tg x = sinx / cos x
czyli tg^2 x = sin^2x / cos^2x
Wiemy też , że:
ctg x = cos x / sin x
zatem:
ctg^2 x = cos ^ 2 x / sin^2 x

Podstawiając to do wzoru mamy:
( sin^2 x / cos^2 x    - sin^2x ) *  cos^2 x / sin^2x x = sin^2 x
1 - sin^2 x cos^2 x / sin^2x = sin^2 x
1 - cos^2 x = sin^2 x
sin^2 x = sin^2 x