Question

Udowodnij, że \sqrt[3]{2} jest liczbą niewymierną.

Answer 1

Liczba √3/2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = 4x²-3
Na podstawie twierdzenia a pierwiastkach wymiernych wielomianu jeżeli wielomian ma pierwiastek wymierny to jego licznikiem jest dzielnik wyrazu wolnego a mianownikiem dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze.
Wynika stąd, że pierwiastkami mogą być liczby ze zbioru:
{3/1, -3/1, 3/2, -3/2, 3/4, -3/4}
Pierwiastek wielomianu nie należy do tego zbioru czyli jest liczbą niewymierną.

Answer 2

Załózmy,, że liczba √3/2 jest liczba wymierna.
p/q ulamek nieskracalny

p/q=√3/2, p, q ∈C
q√3=2p
Iloczyn 2p jest liczba wymierna, a q√3 jest liczba niewymierna dla q∈ C.
Sprzecznosc. Z tego wynika, ze √3/2∉ W.