Question

Udowodnij, że jeżeli ciąg (a n) jest ciagiem arytmetycznym, to ciąg b n = 7 ^ a n jest ciągiem geometrycznym.

Answer 1

Numer indeksu podaję w nawiasach:
a(n+1) = a(n) + r, gdzie r jest różnicą ciągu arytmetycznego, r=const
b(n) = 7^ a(n)
b(n+1) = 7^a(n+1) = 7^[a(n)+r]
b(n+1) / b(n) = 7^[a(n)+r] / 7^a(n) = 7^[a(n)+r - a(n)] = 7^r = const
Czyli dla dowolnego n
b(n+1) / b(n) = 7^r = q = const, a to świadczy, że b(n) jest ciągiem geometrycznym (ma stały iloraz q = 7^r).