Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n podana liczba jest podzielna przez 6.... Question from @Aleksander96

Mathēmatikós $n( n^{2} -7)=n( n^{2} -1-6)=n(n+1)(n-1)-6n$

Iloczyn liczb n(n+1)(n-1) jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest przynajmniej jedna liczba podzielna przez 2 i jedna liczba podzielna przez 3, zatem ten iloczyn jest podzielny przez 6.

Liczba 6n jest podzielna przez 6, ponieważ jest iloczynem liczby 6 i liczby n

Cała liczba jest podzielna przez 6, ponieważ różnica liczb podzielnych przez 6 jest podzielna przez 6

2 votes Thanks 1

Paawełek Do informacji dla Mathematikosa jak sobie poradzić, gdy totalnie zapomni się czym jest algebra albo nie ma się pomysłu. Istnieje 6 przypadków: n po podzieleniu przez 6 daje nam reszty 0,1,2,3,4,5. Z tym że jeśli n jest podzielne na 6 to n(n^2-7) jest podzielne na 6 więc mogę sobie przypadek 0 darować.

Rozwiązanie:
1:
$n \equiv 1(\mod 6) \\n^2-7 \equiv (1^2-7) (\mod 6) \equiv 0(\mod 6) \\ n(n^2-7) \equiv (0 \cdot 1) (\mod 6)\equiv 0(\mod 6)$
2:
$n\equiv 2(\mod 6) \\ n^2-7 \equiv -3(\mod 6) \equiv 3(\mod 6) \\ n(n^2-7)\equiv 6(\mod 6) \equiv 0(\mod 6)$
3:
$n\equiv 3(\mod 6) \\ n^2-7 \equiv 2(\mod 6) \\ n(n^2-7) \equiv (3 \cdot 2)(\mod 6) \equiv 6(\mod 6) \equiv 0(\mod 6)$
4:
$n\equiv 4(\mod 6) \\ n^2-7 \equiv 9(\mod 6) \equiv 3(\mod 6) \\ n(n^2-7) \equiv (4 \cdot 3)(\mod 6) \equiv 12(\mod 6)\equiv 0(\mod 6)$
5:
$n\equiv 5(\mod 6) \\ n^2-7 \equiv 18(\mod 6) \equiv 0(\mod 6) \\ n(n^2-7) \eqiuv 0(\mod 6)$
Stąd:
$n(n^2-7) \equiv 0(\mod 6)$

Wniosek: n(n^2-7) : 6 daje reszty 0, więc jest podzielny na 6.

Oczywiście rozpisywałem to, ale licząc w pamięci jest o wiele krócej.

Za pomocą indukcji jak wpisał Tiger w komentarzu pozostawiam jako zadanie domowe :)

-----------------------------------------------------------
Z definicji:

$n \equiv 6k+l (\mod 6) \equiv l(\mod 6)$
Zatem jeśli np. rozpatruję przypadek $n \equiv 1(\mod 6)$ to również rozpatruję wszystkie przypadki postaci $n \equiv 6k+1(\mod 6)$

0 votes Thanks 1

Zadanie w załączniku. Tematyka: geometria. Rozwiązanie krok po kroku mile widziane, a nuż podobne coś pojawi się za tydzień na maturze :P

- do wykresu tej funkcji należy punkt , a jej zbiorem wartości jest przedział ; nieskończoność). Oblicz a oraz b.

Rozwiąż równanie: z góry dzięki!

Jeśli , to dziedziną funkcji y = f(-x) jest zbiór (odpowiedź).Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie rozwiązania.

Pewien izotop ma czas połowicznego rozpadu równy 3h. Oblicz czas, w którym rozpadnie się 15/16 początkowej liczby jąder tego izotopu.Z góry dzięki!

Naszkicuj wykres funkcji , a następnie wykres funkcji f. Podaj liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m.a) b) fZ góry dzięki!

Wyznacz te wartości parametru m, dla których wykresy funkcji f oraz g są prostopadłe.a) f(x) = b)

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(-3, -1) i prostopadłej do prostej .Z góry dzięki za pomoc!

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social