Question

Udowodnić że dla każdego naturalnego n prawdziwa jest równość:

a) 1+3+5+7+...+(2n-1)=n2

Answer 1

Dowód zasada indukcji matemetycznej:

1. Sprawdzmy prawdziwość dla n = 1

(2*1 - 1) = 1 = 1²

 

2. załóżmy, że twierdzeinie jest prawdziwe dla n, czyli:

1+3+5+7+...+(2n-1)=n²

 

3. sprawdzmy twierdzenie dla n + 1, czyli czy:

1+3+5+7+...+(2n-1) + (2(n+1) - 1 ) = (n+1)²

 

1+3+5+7+...+(2n-1) + (2(n+1) - 1 ) =

= 1+3+5+7+...+(2n-1) + (2n +1) =        //podstawiamy z 2 .

= n² + 2n + 1 =                                        //ze wzoru skróconego mnożenia

= (n + 1)²  cnu.

zasadą indukcji matematycznej udowodniliśmy, że równość jest prawdziwa.

Answer 2

Zastosujemy metode indukcji matematycznej (zupelnej)

1. Spr. dla n=1

L=1

P=1

L=P

Zalozenie

1+3+5+...+(2n-1)=n²

Teza ( dla n=k+1)

1+3+5+''...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

Dowod:

L=1+3+5+(2k-1)+(2k+1)= k²(z zal.)+2k+1=(k+1)²

L=P