Question

Trzy okręgi o środkach przecinają się w punkcie A. W okręgach tych zaznaczono kąty wpisane - jak na rysunku. Wykaż, że

Answer 1

Patrz załącznik

Wysumuje  katy wokól  punktu A dajace kąt pełny tzn 360°.

Wykorzystam twierdzenie kąt środkowy jest dwa razy wiekszy

od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Jezeli kat wpisany jest ostry to srodkowy jest mniejszy od półpełnego.

Granica to kąt oparty na srednicy jest prosty.

Kąt  wpisny LAK  jest rozwarty wiec  odpowiada mu srodkowy 360-2α,

wiec  wpisany ∢LAK=(360-2α)/2 =180-α

Podobnie pozostałe katy:

(180-α)+(180-β)+(180-γ)=360

540-(α+β+γ)=360

(α+β+γ)=180

 

CBDU

 

pozdrawiam Hans

 

PS

Polecam moj program do wykresów i grafiki:

http://l5.pk.edu.pl/~kraus/bryly_3d/mini_plot.php

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Oznaczenia jak na rysunku - patrz załącznik

 

W każdym okręgu jest wpisany czworokąt:

- w okrąg ośrodku O₁ czworokąt ABED

- w okrąg ośrodku O₂ czworokąt ABFC

- w okrąg ośrodku O₃ czworokąt ACGD

 

Jeśli czworokąt jest wpisany w okrąg, to sumy miar przeciwległych kątów są równe 180⁰.  Stąd:

|∢BED| + |∢BAD| = 180⁰

α + |∢BAD| = 180⁰

|∢BAD| = 180⁰ - α

 

|∢BFC| + |∢BAC| = 180⁰

β + |∢BAC| = 180⁰

|∢BAC| = 180⁰ - β

 

|∢CGD| + |∢CAD| = 180⁰

γ + |∢CAD| = 180⁰

|∢CAD| = 180⁰ - γ

 

Suma kątów BAD, BAC i CAD jest kątem pełnym, zatem:

|∢BAD|  + |∢BAC| + |∢CAD| = 360⁰

180⁰ - α + 180⁰ - β + 180⁰ - γ = 360⁰

540⁰ - α - β - γ = 360⁰

- α - β - γ = 360⁰ - 540⁰

- (α + β + γ) = - 180⁰    /·(-1)

α + β + γ = 180⁰

co należało dowieść