Question

Trzy masy m1=3kg, m2=6kg i m3=1 kg połączone nierozciągliwym sznurkiem umieszczono na stole tak jak pokazuje rysunek. Oblicz przyspieszenie układu mas oraz naprężenia sznurków jeśli masa m2 może się poruszać po stole bez tarcia a masy bloczków i sznurka możemy pominąć.

Answer 1

Odpowiedź:

au = 1,962 m/s²

N1 = 9,81 N

N2 = 9,81 N

Wyjaśnienie:

Na wiszące masy: m1 i m3 działają siły ciężkości, równe odpowiednio:

Fc1 = m1 * g

Fc3 = m3 * g

Na masę m2 też działa siła ciężkości (Fc2 = m2 *g) ale siła ta, ponieważ jest prostopadła do potencjalnego kierunku przemieszczenia się układu mas, nie "bierze udziału" [nie ma wpływu] w rozpatrywaniu działania sił odpowiedzialnych za ruch. A więc:

[1] wypadkowa sił "zewnętrznych"  w układzie:

Fw = Fc1 - Fc3   (sił: N1 i N2 nie uwzględniamy w wyznaczaniu wypadkowej, gdyż te siły są siłami "wewnętrznym" , są skutkiem działania sił zewnętrznych Fc1 i Fc3).

Fw = m1*g - m3*g = g*(m1 - m3)

[2] przyśpieszenie układu mas pod wpływem działania siły wypadkowej Fw:

Fw = mu * au    (gdzie: mu - masa układu mas, tj. mu = m1 + m2 + m3;

                                     au - przyspieszenie układu mas)

Z porównania: [1] i [2] otrzymujemy:

g*(m1-m3) = mu * au

g*(m1-m3) = (m1+m2+m3) *au

Stąd, po przekształceniu:

au = [g*(m1-m3)] / [m1+m2+m3]

a co do wartości:

au = [9,81*(3-1)] / [3 + 6 +1] = (9,81*2)/10 = 19,62/10 = 1,962 m/s²

Naprężenia sznurków pomiędzy masami:

a) naprężenie (siła) N1:

Rozpatrujemy bilans wszystkich sił  działających na masę m1, pamiętając również, że z wcześniejszych obliczeń, masa ta podlega działaniu siły wypadkowej Fw = g*(m1-m3).

Fw = Fc1 - N1  (znak "-" przy sile N1 jest stąd, że siła ta jest skierowana przeciwnie do siły Fc1), I dalej:

g * (m1-m3) = m1*g - N1    -----> N1 = m1*g - g*(m1-m3)

                                                 N1 = 3*9,81 - 9,81*(3-1)

                                                 N1 = 29,43 N - 19,62 N = 9,81 N

b) naprężenie (siła) N2:

Rozpatrujemy bilans wszystkich sił  działających na masę m3, pamiętając również, że z wcześniejszych obliczeń, masa ta podlega działaniu siły wypadkowej Fw = g*(m1-m3).

Fw = N2 - Fc3  (znak "-" przy sile Fc3 jest stąd, że siła ta jest skierowana przeciwnie do siły N2 a z kolei znak (kierunek działania) siły N2 jest zgodny z kierunkiem działania siły Fw). I dalej:

g * (m1-m3) = N2 - m3*g    -----> N2 = g*(m1-m3) - m3*g

                                                   N2 = 9,81*(3-1) - 1*9,81

                                                   N2 = 9,81 * 2  - 9,81

                                                   N2 = 9,81 N