Question

Trzy liczby x, y, z, z których suma wynosi 24, tworzą ciąg arytmetyczny. Liczby x+1, y-2, z-2 tworzą ciąg geometryczny. Znajdź liczby x, y, z

Answer 1

Musi zachodzić:
x
y=x+r
z=x+2r
Z sumy mamy:
y=8
Czyli nasze liczby:
x=8-r
y=8
z=8+r
Ciąg geo. utworzymy z:
x+1=9-r
y-2=6
z-2=6+r
I teraz warunek na ciag geo.:
(9-r)(6+r)=6^{2}
r=6 \vee r=-3
Czyli:
x=2
y=8
z=14
albo
x=11
y=8
z=5

Answer 2

X,y,z - ciąg arytmetyczny, czyli
x + z = y + y
x + y + x = y + y + y
x + y + z = 3y
24 = 3y
y = 8
x + z = 24 - 8 = 16
z = 16 - x

x+1,y-2,z-2 - ciąg geometryczny, czyli
(x+1)(z-2) = (y-2)²
(x+1)(16-x-2) = (8-2)² = 36
(x+1)(14-x) = 36
14x - x² + 14 - x - 36 = 0
-x² + 13x - 22 = 0
x² - 13x + 22 = 0
Δ = 13*13 - 4*22 = 169 - 88 = 81
x₁ = (13 - √Δ) / 2 = (13 - 9) / 2 = 2
x₂ = (13 + √Δ) / 2 = (13 + 9) / 2 = 11

czyli mamy 2 rozwiązania:
x=2, y=8, z=14
oraz
x=11, y=8, z=5

w obu przypadkach x,y,z jest ciągiem arytmetycznym
o obu przypadkach x+1,y-2,z-2 jest ciągiem geometrycznym