Question

Trzy liczby, których suma wynosi 30 tworzą ciąg arytmetyczny. Jeżeli do pierwszej z nich dodamy 2, do drugiej 8, a do trzeciej 38, to otrzymane liczby utworzą ciąg geometryczny. Znajdź te liczby.

Answer 1

A,b,c - ciąg arytmetyczny
a+b +c = 30
b = (a+c) /2
a+2, b + 8 , c +38 - ciąg geometryczny
(b+8)/ (a+2) = ( c + 38) / (b+8)

a +(a+c)/2 + c = 30
(a+2)*(c+38) = (b+8)²

2a + a +c + 2c = 60
(a+2)*(c+38) = [(a+c)/2 +8]²

3a + 3c = 60 ---> a+c = 20 ---> a = 20 - c
(20-c +2)*((c +38) = [(20-c +c)/2 + 8]²
(22 - c)*(c + 38) = [20/2 + 8]²
22c + 836 - c² - 38c = 18²
836 - 16c - c² = 324
c² + 16 c - 512 = 0
Δ = 16² -4*(-512) = 256 + 2048 = 2304
√Δ = 48
c1 = [-16 - 48]/2 = -64/2 = -32
c2 = [-16 +48]/2 = 32/2 = 16

a1 = 20 - c1 = 20 -(-32) = 52
a2 = 20 -c2 = 20 -16 = 4

b1 = [a1 +c1]/2 = [52-32]/2 = 20/2 = 10
b2 = [a2 + c2]/2 =[4 +16] /2 = 20/2 = 10

Mamy
52,10,-32 - ciąg arytmetyczny o różnicy r = -42
52 +2 = 54,10 +8 = 18, -32 + 38 = 6
54, 18,6 - ciąg geometryczny o ilorazie q = 1/3
oraz
4,10,16 - ciąg arytmetyczny o różnicy r = 6
4+2 = 6, 10+8 = 18, 16 + 38 = 54
6,18,54 - ciąg geometryczny o ilorazie q = 3
Odp. Szukane liczby to: 52,10, -32 lub 4,10,16.