Question

Trójkąt prostokątny egipski(3cm,4cm,5cm) ABC, obraca się wokół przeciwprostokątnej AB. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość powstałej bryły.
Odpowiedzi:
Pc=16,8πcm²
V=9,6πcm³

Answer 1

AB, BC - przyprostokątne Δ ABC
AC - przeciwprostokątna Δ ABC
P - pole Δ ABC

Powstała bryła składa się z dwóch stożków "sklejonych" podstawami (patrz rys. w załączniku), objętość bryły to suma objętości mniejszego i większego stożka, a pole powierzchni całkowitej to suma pól powierzchni bocznych tych stożków.
V - objętość bryły
V₁ - objętość mniejszego stożka
V₂ - objętość większego stożka
V = V₁ + V₂

Pc - powierzchnia całkowita bryły
Pb₁ - pole powierzchni bocznej mniejszego stożka
Pb₂ - pole powierzchni bocznej mniejszego stożka
Pc = Pb₁ + Pb₂

r - promień podstawy stożków, jednocześnie wysokość Δ ABC opuszczona na bok AC
h₁ - wysokość mniejszego stożka
h₂ - wysokość większego stożka
l₁ = AB = AE - tworząca mniejszego stożka
l₂ = BC = CE - tworząca większego stożka

|AB| = |AE| = l₁ = 3 cm
|BC| = |CE| = l₂ = 4 cm
|AC| = 5 cm

|AC| = h₁ + h₂
h₁ + h₂ = 5
h₂ = 5 - h₁

P = ½ * |AB| * |BC|
P = ½ * 3 * 4 = 6 cm²
P = ½ * |AC| * r = ½ * 5 * r = ⁵/₂ * r
⁵/₂ * r = 6 /: ⁵/₂
r = 6 * ⅖ = ¹²/₅ = 2,4 cm

h₁ obliczymy z tw. Pitagorasa w Δ ABD
|AB|² = r² + h₁²
(2,4)² + h₁² = 3²
h₁² = 9 - 5,76
h₁² = 3,24
h₁ = √3,24 = 1,8 cm

h₂ = 5 - h₁
h₂ = 5 - 1,8 = 3,2 cm

V₁ = ⅓*π*r²*h₁
V₁ = ⅓*π*(2,4)²*1,8 = π*5,76*0,6 = 3,456π cm³
V₂ = ⅓*π*r²*h₂
V₂ = ⅓*π*(2,4)²*3,2 = ⅓*π*5,76*3,2 = π*1,92*3,2 = 6,144π cm³
V = V₁ + V₂
V = 3,456π + 6,144π = 9,6π cm³

Pb₁ = π*r*l₁
Pb₁ = π*2,4*3 = 7,2π cm²
Pb₂ = π*r*l₂
Pb₂ = π*2,4*4 = 9,6π cm²
Pc = Pb₁ + Pb₂
Pc = 7,2π + 9,6π = 16,8π cm²

Odp. Pole powierzchni całkowitej wynosi 16,8π cm², a objętość 9,6π cm³.

Answer 2

Witam, starałem się rozwiązać to zadanie 'krok po kroku' w nadziei, że coś w głowie Ci z tego zostanie :))