Question

Szereg geometryczny.
Potrzebuje na już, dlatego dużo pkt!
Oblicz sumę:
x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 +....+n*x^n
Bardzo proszę z objaśnieniem!
Jutro mam to na sprawdzianie!

Answer 1

Po prostu kilkukrotnie stosujemy wzór na sumę ciągu geometrycznego:
x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + .... + n*x^n = (x + ... + x^n) + (x^2 + ... + x^n) + (x^3 + ... + x^n) + ... + x^n

x ≠ 1
Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)

= x(1 - x^{n})/(1 - x) + x^2 (1 - x^{n - 1})/(1 - x) + x^3 (1 - x^{n - 2})/(1 - x) + ... + x^n (1 - x^1)/(1 - x) = [x(1 - x^{n}) + x^2 (1 - x^{n - 1}) + x^3 (1 - x^{n - 2}) + ... + x^n (1 - x^1)]/(1 - x) = [x - x^{n + 1} + x^2 - x^{n + 1}) + x^3 - x^{n + 1}) + ... + x^n - x^{n + 1}]/(1 - x) = [(x + x^2 + x^3 + ... + x^n) - nx^{n + 1}]/(1 - x) = [x(1 - x^{n})/(1 - x) - nx^{n + 1}]/(1 - x) = [x(1 - x^{n}) - (1 - x)*nx^{n + 1}]/(1 - x)² = [x - x^{n + 1} - nx^{n + 1} + nx^{n + 2}]/(1 - x)² = [x - (n + 1)x^{n + 1} + nx^{n + 2}]/(1 - x)²

x = 1
x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + .... + n*x^n = 1 + ... + n = (n + 1)n/2

jak masz pytania to pisz na pw