mam zadanka z matematyki,proszę o pomoczad.1 Piłkę rzucono w górę z początkowa prędkością 25m/s.Wyso.... Question from @igiska

October 2018 1 55 Report

mam zadanka z matematyki,proszę o pomoc

zad.1 Piłkę rzucono w górę z początkowa prędkością 25m/s.Wysokość h, którą osiągnie piłka po t sekundach okreslona jest wzorem h=25t-16t²

a)jaką maksymalną wysokość osiągnie ta piłka?

b)po jakim czasie spadnie ona na ziemię?

Zad.2. przedstaw funkcje w postaci iloczynowej, kanonicznej i ogólnej.

a) y=2(x+2)²-2

b)y=2x²+2

c)y=x²+2x-3

zad.3 Określ dziedzinę funkcji

y= ułamek w liczniku 2x²-2 w mianowniku wyrażenie pod pierwiastkiem 2(x=2)²-2

Kuj2

Zad. 1

a) Wykres tej funkcji, która opisuje wysokość piłki, to parabola - i jeśli spojrzysz na jej równanie $h = f(t) = -16t^{2} + 25t$ - to jest to parabola "ramionami w dół", bo współczynnik przy kwadracie jest ujemny. Taka parabola ma największą wartość - w wierzchołku. Trzeba więc policzyć, jaka jest odcięta wierzchołka paraboli, czyli dla jakiego t parabola jakby osiąga swój wierzchołek. Jest na to wzór: $x_{0} = \frac{-b}{2a}$ , a, b - współczynniki trójmianu. Tutaj $t_{0} = \frac{-25}{-32} = \frac{25}{32}$ (nie mam pojęcia, kto wymyślał te durne nieskracalne liczby w tym zadaniu, ale mniejsza). W tej właśnie "chwili", po czasie t = 25/32 sekundy, parabola osiągnie wierzchołek, a piłka - maksymalną wysokość. Wystarczy teraz podstawić obliczone t do równania na wysokość:

$h_{max} = 25 * \frac{25}{32} - 16 * (\frac{25}{32})^{2}$

Obliczenia pozostawiam dla ciebie.

b) "Piłka spada na ziemię" oznacza tyle, że jej wysokość nad ziemią h = 0. Piewszy taki moment to, rzecz jasna, chwila początkowa; dla t = 0 mamy h = 25*0 - 16*0 = 0. Teraz chodzi o to, żeby znaleźć drugie takie t, dla którego h = 0, czyli rozwiązać równanie:

$25t - 16t^{2} = 0$ . Po wyłączeniu t przed nawias dostajemy:

$t(25 - 16t) = 0$

$t = 0 \ \ \ lub \ \ \ t = \frac{25}{16}$ .

t = 0 to sytuacja opisana powyżej - na samym początku piłka też jest na wysokości 0. Drugi wynik, t=25/16 s, to czas, po którym piłka spadnie na ziemię po rzucie. Tak przy okazji, to wszystko ma sens "zdroworozsądkowy"; czas, po którym piłka osiągnie maksymalną wysokość wyszedł 25/32 s, a czas, po którym spadnie to 25/16 s. 25/16 to dwa razy więcej niż 25/32, czyli faktycznie wychodzi, że piłka tyle samo czasu wznosi się i spada.

2. Postać iloczynowa to ta z nawiasami, $y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$ (można z niej odczytać miejsca zerowe funkcji), postać kanoniczna to ta z nawiasem do kwadratu, $y = a(x - p)^{2} + q$ (można z niej odczytać współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji), a postać ogólna to ta porozwalana, $y = ax^{2} + bx + c$ (można z niej odczytać... cóż, właściwie to niewiele można z niej odczytać oprócz współczynników a, b i c, zazwyczaj przekształca się ją do innej postaci).

a) Funkcja jest w postaci kanonicznej: żeby przekształcić ją do ogólnej, trzeba po prostu rozwalić nawias, czyli podnieść to w środku do kwadratu (tylko nie zapominajmy, że dwójka przed nawiasem będzie miałą wpływ na wszystkie składniki tego kwadratu):

$y = 2(x + 2)^{2} - 2$

$y = 2(x^{2} + 4x + 4) - 2$

$y = 2x^{2} + 8x + 6$ i to już jest postać ogólna.

Żeby przekształcić to do postaci iloczynowej, można teraz znaleźć (z delty) miejsca zerowe tej funkcji: $\Delta = b^{2} - 4ac = 64 - 48 = 16, x_{1} = \frac{-b - \sqrt\Delta}{2a} = -3, x_{2} = \frac{-b + \sqrt\Delta}{2a} = -1.$ . Funkcja w postaci iloczynowej ma więc wzór:

$y = 2(x + 1)(x + 3)$ . (Plusy dlatego, że -1 i -3 mają być miejscami zerowymi, czyli funkcja ma mieć wartość 0 dla x = -1 i x = -3).

b) Funkcja jest w postaci ogólnej, ale też jednocześnie w postaci kanonicznej - bo właściwie już można by ją zapisać jako $y = 2(x - 0)^{2} + 2$ , tylko normalnie nie ma co pisać tego zera. Ta funkcja nie posiada miejsc zerowych (bo $\Delta = - 8 < 0$ ), dlatego ta funkcja nie ma postaci iloczynowej - ot, koniec i bomba, nie ma iloczynowej i trąba.

c) Funkcja jest w postaci ogólnej. Do iloczynowej sprowadzasz ją deltą - tak samo, jak w punkcie a) - natomiast do kanonicznej należy zrobić tak: $x^{2} + 2x$ to prawie wszystkie wyrazy rozwinięcia kwadratu $(x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1$ - właśnie z wyjątkiem tego +1. Dlatego zamiast $x^{2} + 2x$ można by napisać $(x + 1)^{2} - 1$ , dodając -1, żeby "nie kłamać". Po wstawieniu tego do równania dostajesz:

$y = x^2 + 2x - 3$

$y = (x + 1)^2 - 1 - 3$

$y = (x + 1)^2 - 4$ i to już jest postać kanoniczna.

3. Licznik nie ma znaczenia, bo tam może być, co chcemy. Ważny jest mianownik - nie może być w nim 0, ważny jest też pierwiastek, bo nie może być pod nim liczby ujemnej. Stąd

$\sqrt{2(x+2)^2 - 2} \neq 0$ , żeby mianownik nie równał się 0,

${2(x+2)^2 - 2} \geq 0$ , żeby wyrażenie pod pierwiastkiem nie było ujemne.

Skoro wyrażenie pod pierwiastkiem ma być większe lub równe 0, a cały mianownik nie może być RÓWNY 0, to właściwie chodzi o to, żeby wyrażenie pod pierwiastkiem było ostro większe od zera, czyli te dwa warunki sprowadzają się do jednego:

$2(x+2)^2 - 2 > 0$

To jest nierówność kwadratowa:

$2(x+2)^2 - 2 > 0$

$2(x+2)^2 > 2$

$(x+2)^2 > 1 | \sqrt{\ \ }$

$|x+2| > 1$

$x + 2 > 1\ \ \ lub \ \ \ x + 2 < -1$

$x > -1 \ \ \ lub \ \ \ x < -3$

Stąd dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich x spełniających ten warunek - czyli $D_{f} = (- \infty ; -3) \cup (-1 ; \infty ).$

PS. Ciągle edytuję to rozwiązanie, ale nie pod względem merytorycznym: nie ma tu cudownej opcji "podgląd", więc wszystkie te TeX-owe cudeńka, razem z błędami, mogłem pooglądać sobie dopiero po publikacji...