Question

Suma n początkowych wyrazów ciągu (an) jest równa Sn= n²+2n. Udowodnij,że ciąg (an) jest arytmetyczny i wyznacz go.

Proszę o zrozumiale rozwiązanie :)

Answer 1

Sn = n^2 + 2n

S1 =a1 =1^2 +2*1 = 1 + 2 = 3

a1 = 3

======

S2 = a1 + a2 --> a2 = S2 - a1 = [ 2^2 +2*2 ] - 3 = 8 - 3 = 5

a2 = 5

=====

S3 = a1 + a2 +a3  ---> a3 = S3 - a1 - a2

a3 = [ 3^2 +2*3 ] - 3 - 5 = 9 + 6 - 3 - 5 = 15 - 8 = 7

a3 = 7

=====

a3 -a2 = 7 - 5 = 2

oraz

a2 - a1 = 5 - 3 =  2

r = 2

Odp. a1 = 3  oraz  r = 2

========================

II sposób.

S1 = a1 = 1^2 +2*1 = 1 + 2 = 3

Sn+1 = (n+1)^2 + 2*(n +1) = n^2 + 2n + 1 + 2n + 2 = n^2 + 4n + 3

Sn+1  - Sn = an+1

czyli

an+1 = [ n^2 + 4n + 3 ]  - [ n^2 + 2n ] = 2n + 3

zatem

an = 2*(n-1) + 3 = 2n -2 + 3 = 2n + 1

oraz

an+1 - an = [ 2n + 3] - [2n + 1 ] = 2

r = 2

Odp. a1 = 3   oraz  r = 2

=========================