Question

Sprawdz czy ciąg an określony podanym wzorem jest arytmetyczny.Jeśli tak,to określ jego monotoniczność gdy
1.an=4n1
2.an=-2n+8
3.an=-5
4.an=3-2n(do kwadratu)


Oblicz ile jest liczb naturalnych
a)podzielonych przez 6 i należących do przedziału<7;126>
b)czterocyfrowych
c)dwucyfrowych,które przy dzieleniu przez 7 dają reszte3
d)mniejszych od 243,ktore przy dzieleniu przez 5 daja resztę3



i proszę też o tłumaczenie jak to robić :)


daje najjj!

Answer 1

Zadanie1
a)

an=4n
ciąg jest arytmetyczny, podstawmy po kolei liczby naturalne, dlatego, że to właśnie one dotyczą ciągów. Zatem dla:
n=1 mamy a1=4;
n=2 mamy a2=8;
n=3 mamy a3=12;
....................;
jak widać różnica r=4;

Badamy teraz monotoniczność:
a(n+1) ---> ten nawias jest indeksm dolnym

a(n+1) - an = 4*(n+1) - 4*n = 4*n + 4 - 4*n = 4
4>0, z tego wynika, że ciąg jest rosnący, co widać nawet po jego pierwszych wyrazach.


b) analogicznie, jak a

c) an= -5
jest to ciąg stały

d) an=3 - 2*n^2
a1=3-2*1^2=3-2=1
a2=3-2*2^2=3-8= -5
a3=3-2*3^2=3-12= -9
a4=3-2*4^2=3-16 = -13
widzimy, że r= -4 (zapewne z monotoniczności wyjdzie, że ciąg jest malejący - oczywiste :P)

Badamy monotoniczność:
a(n+1) - an = 3-2*(n+1)^2 - (3-2*n^2) = 3-2*(n^2 + 2*n + 1) - 3+3*n^2 = 3-2*n^2 - 4*n - 2 - 3+3*n^2 = n^2 - 4*n - 2

(n^2 - 4*n - 2) < 0 więc ciąg jest malejący