Question

Wyznacz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych wiedząc że :\
a)cosα=-¹/₇ ∧ sinα>0
b)ctgα=1²/₅∧sinα<0
c)sinα=-pierwiastek z dwóch przez dwa ∧cosα>0
d)tgα=-pierwiastek z trzech ∧α∈ pi przez dwa , pi

Answer 1

A )cosα=-1/7 i sinα>0 z jedynki trygonometrycznej obliczamy sinα
sin²α+cos²α=1 sin²α=1-cos²α sin²α=1-(-1/7)²=1- 1/49=48/49
sinα=√48/√49 ponieważ sinα ma byc >o odpada pierwiastek ujemny
sinα=4√3 / 7 tgα=sinα/cosα tgα=4√3 /7 ÷ (-1/7)=4√3 ×(-7/1)=-4√3
ctgα=1 /tgα =-1 /4√3 po uniewymiernianiu mamy ctgα=-√3 /12

sinα=4√3 /7 ,cosα=-1/7 ,tgα= -4√3 ,ctgα=-√3 /12

b) ctgα=7/5 i sinα<0 ctgα=cosα/sinα czyli cosα/sinα=7 /5
5cosα=7sinα cosα=7/5sinα po wstawieniu do jedynki tryg. mamy
sin²α + (7/5)²sin²α=1 sin²α+ 49/25 sin²α=1 74/25sin²α=1
sin²α=1÷ 74/25=1×25/74= 25/74 sinα= -√25 /√74 pierwiastek dodatni odpada bo sin ma byc <0 czyli sinα=-5/√74 po uniewymiernieniu mamy sinα=-5√74/ 74
cosα=7/5× sinα =7/5 ×(-5√74 /74)=-7√74 /74 tgα= 1 /ctgα= 5/7

sinα=-5√74/74 cosα=-7√74/74 tgα=5/7 ctgα=7/5

c) sinα =√2 /2 i cosα>0
z jedynki tryg, sin²α +cos²α=1 cos²α =1-sin²α cos²α =1-(√2/ 2)²
cos²α=1-2/4=1/2 cosα=√1 /√2 =√2/2 ujemny pierwiastek odpada bo cosα ma byc > 0 tgα=sinα/cosα tgα=(√2 /2) ÷(√2/2)=1 ctg=1/tgα=1/1=1

sinα=√2/2 cosα=√2/2 tgα=1 ctgα=1

d) tgα=-√3 i α ∈(π/2 ;π) tgα=sinα/cosα czyli sinα/cosα=-√3
sinα =-√3 cosα podstawiając do jedynki tryg. mamy
(-√3 cosα)²+cos²α=1 3cos²α+cos²α=1 4cos²α=1 cos²α=1/4
cosα= -1/2 dodatni pierwiastek odpada bo α ∈(π/2;π) a tam cos jest<0
sinα=-√3cosα=-√3 ×(-1/2)=√3 /2 tgα=-√3 ctgα=1/tgα= 1/-√3 =-√3/3

sinα= -√3 /3 ,cosα=-1/2 ,tgα =-√3 ,ctgα=-√3 /3

Answer 2

Wyznacz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych wiedząc że :
W tego typu zadaniach wykorzystujemy znajomość związków między funkcjami trygonometrycznymi, czyli najczęściej:
sin²α + cos²α = 1
tg α = sin α / cos α
ctg α = cos α / sin α
tg α * ctg α = 1
oraz znajomość znaków funkcji trygonometrycznych w różnych przedziałach. Znaki te można zapamiętać taki znając taki wierszyk "W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus".
a)
cos α = -¹/₇ i sinα > 0
cos α < 0, sin α > 0 czyli tg α < 0 i ctg α < 0

sin²α + cos²α = 1
sin²α + (-¹/₇)² = 1
sin²α + ¹/₄₉ = 1
sin²α = 1 - ¹/₄₉
sin²α = ⁴⁸/₄₉
sin α = √⁴⁸/₄₉ lub sin α = - √⁴⁸/₄₉
(sin α = - √⁴⁸/₄₉ odrzucamy, bo sinα > 0)
czyli
sin α = √⁴⁸/₄₉ = √3*16 / 7 = 4 √3 / 7

tg α = sin α / cos α
tg α = (4 √3 / 7) : (- 1 / 7) = (4 √3 / 7) * (- 7 / 1) = - 4 √3

ctg α = cos α / sin α
ctg α = (- 1 / 7) : (4 √3 / 7) = (- 1 / 7) * (7 / 4 √3) = - 1 / 4√3 = - √3 / 4√3*√3 = - √3 / 12

b)
ctg α = 1²/₅ = ⁷/₅ i sin α < 0
ctg α > 0 i sin α < 0 czyli tg α > 0 i cos α < 0

tg α = 1 / ctg α
tg α = 1 : ⁷/₅ = 1 * ⁵/₇ = ⁵/₇

ctg α = cos α / sin α
cos α / sin α = ⁷/₅ /*sin α
cos α = ⁷/₅*sin α

sin²α + cos²α = 1
sin²α + (⁷/₅*sin α)² = 1
sin²α + ⁴⁹/₂₅*sin²α = 1
1⁴⁹/₂₅*sin²α = 1
⁷⁴/₂₅*sin²α = 1 /: ⁷⁴/₂₅
sin²α = ²⁵/₇₄
sin α = √²⁵/₇₄ lub sin α = - √²⁵/₇₄
(sin α = √²⁵/₇₄ odrzucamy, bo sin α < 0)
czyli
sin α = - √²⁵/₇₄ = - 5 / √74 = - 5*√74 /√74*√74 = - 5*√74 / 74

cos α = ⁷/₅*sin α
cos α = (7 / 5)*(- 5*√74 / 74) = - 7*√74 / 74

tg α = sin α / cos α
tg α = (- 5*√74 / 74) : (- 7*√74 / 74) = (- 5*√74 / 74) * (- 74 / 7*√74) = ⁵/₇ (to tylko obliczyłam dla sprawdzenia, bo tg był wcześniej obliczony:)

c)
sin α = - √2 / 2 i cos α > 0
sin α < 0 i cos > 0 czyli tg α < 0 i ctg α < 0

sin²α + cos²α = 1
(- √2 / 2)² + cos²α = 1
²/₄ + cos²α = 1
cos²α = 1 - ½
cos²α = ½
cos α = √½ lub cos α = - √½
(cos α = - √½ odrzucamy, bo cos α > 0)
czyli
cos α = √½ = 1 / √2 = 1*√2 / √2*√2 = √2 / 2

tg α = sin α / cos α
tg α = (- √2 / 2) : (√2 / 2) = (- √2 / 2) * (2 / √2) = - 1

ctg α = 1 / tg α
ctg α = 1 / - 1 = - 1

d)
tg α = - √3 i α ∈ (π/2; π)
tg α < 0, ctg α < 0, sin α > 0, cos α < 0

ctg α = 1 / tg α
ctg α = 1 / - √3 = - √3 / √3*√3 = - √3 / 3

tg α = sin α / cos α
sin α / cos α = - √3 /*cos α
sin α = - √3*cos α

sin²α + cos²α = 1
(- √3*cos α)² + cos²α = 1
3*cos²α + cos²α = 1
4*cos²α = 1 /:4
cos²α = ¼
cos α = √¼ lub cos α = - √¼
(cos α = √¼ odrzucamy, bo cos α < 0)
czyli
cos α = - √¼ = - ½

sin α = - √3*cos α
sin α = - √3*(- ½) = √3 / 2