Satelita znajduje się na wysokości 600 km nad pomierzchnią Ziemi.a.) Oblicz jego prędkość.b.) Czy je.... Question from @Bellsie

Bellsie @Bellsie

October 2018 1 159 Report

Satelita znajduje się na wysokości 600 km nad pomierzchnią Ziemi.

a.) Oblicz jego prędkość.

b.) Czy jest ona mniejsza, czy większa od pierwszej prędkości kosmicznej? O ile procent?

c.) Oblicz okres obiegu tego satelity.

Proszę o dobre odpowiedzi. Daję naj!

paulina303030

Aby obliczyć prędkość satelity musimy skorzystać ze wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną, czyli najmniejszą prędkość, jaką trzeba nadać ciału, aby poruszało się po orbicie danego ciała niebieskiego (np. którejś z planet) i nie spadło na jego powierzchnię.

Wyprowadzamy, więc wzór na tą prędkość.

Siła dośrodkowa ( $Fd=\frac{mv^{2}}{R}$ ) równa jest sile grawitacji ( $Fg=G\frac{Mm}{R^{2}}$ ):

$\frac{mv^{2}}{R}=G\frac{Mm}{R^{2}}| \ :m$
$\frac{v^{2}}{R}=\frac{GM}{R^{2}}|\ \cdot R$
$v^{2}=\frac{GM}{R}| \ \sqrt$
$v=\sqrt\frac{GM}{R}$

gdzie:
G - stała grawitacji
R - promień orbity satelity
M - masa ciała niebieskiego, np. planety
m - masa satelity
v - prędkość satelity

a) Dane:

h=600km
Rz=6400km
M=6*10²⁴kg
G=6,67*10⁻¹¹Nm²/kg²

Szukane:

v=?

Wzór:

v=√GM/R
R=Rz+h

Rozwiązanie:

R=6400km+600km
R=7000km=7000000m=7*10⁶m
$v=\sqrt\frac{6,67*10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}} \cdot 6 \cdot 10^{24}kg}{7 \cdot 10^{6}m}$
$v=\sqrt\frac{40,02 \cdot 10^{13} \frac{Nm^{2}}{kg}}{7 \cdot 10^{6}m}$
$v=\sqrt{5,717 \cdot 10^{7}\frac{m^{2}}{s^{2}}}$
$v\approx7560\frac{m}{s}\approx7,56\frac{km}{s}$

Odp. Prędkość satelity wynosi ok. 7,56km/s.

b) Najpierw obliczamy, jaką część pierwszej prędkości kosmicznej stanowi obliczona prędkość, następnie wynik odejmiemy od 100%, otrzymując wynik kolejny wynik informujący nas, o ile procent mniejsza jest ta prędkość.

$\frac{7,56\frac{km}{s}}{7,9\frac{km}{s}}\cdot100 (procent)\approx96(procent)$
$100(procent)-96(procent)\approx4(procent)$

Odp. Prędkość ta jest mniejsza od pierwszej prędkości kosmicznej o ok. 4%.

c) Aby obliczyć okres obiegu tego satelity, potrzebny jest nam wzór na prędkość w ruchu po okręgu, który ma postać:

$v=\frac{2\pi r}{T}$

... teraz pozostaje przekształcić go takiej postaci, w której otrzymamy wzór na okres w tym ruchu:

$v=\frac{2\pi r}{T}|\ \cdot T$
$vT=2\pi r|\ :v$
$T=\frac{2\pi r}{v}$

... i podstawienie wartości liczbowych.

Dane:

v=7560m/s=7,56*10³m/s
r=7*10⁶m

Szukane:

T=?

Wzór:

$v=\frac{2\pi r}{T}|\ \cdot T$
$vT=2\pi r|\ :v$
$T=\frac{2\pi r}{v}$

Rozwiązanie:

$T\approx\frac{2 \cdot 3,14 \cdot 7 \cdot 10^{6}m}{7,56 \cdot 10^{3}\frac{m}{s}}$
$T\approx\frac{43,96 \cdot 10^{6}m}{7,56 \cdot 10^{3}\frac{m}{s}}$
$T\approx5,8148 \cdot 10^{3}s\approx5814,8s\approx97\ min$

Odp. Okres obiegu tego satelity wynosi ok. 97 min.

1. Wybacz, ale Latex nie obsługuje procentów, więc napisałam je słownie, a Ty zamiast tego napisz "%"
2. Gdybyś potrzebowała dyskusji jednostek (czy tzw. ich rachunku) - daj znać.