Question

Są to 3 zadania, dość trudne ale mam nadzieje że ilośc punktów jest odpowiednia

Zadania są w załączniku

Answer 1

1)
dziedzina - mianownik ≠ 0
x²-2x-3≠0
Δ=4+12=16
x₁=(2-4)/2=-1
x₂=(2+4)/2=3
dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyjątkiem -1 i 3
x∈R\{-1,3}

miejsca zerowe
f(x)=0 <=> x²-x-2=0
Δ=1+8=9
x₁=-1 →sprzeczne z dziedziną
x₂=2
miejscem zerowym funkcji jest punkt (2,0)

funkcja niemalejąca
(x²-x-2)/(x²-2x-3)≥0 iloraz jest większy od zera to i iloczyn musi być większy od zera, czyli
(x²-x-2)(x²-2x-3)≥0
(x+1)(x-2)(x+1)(x-3)≥0
(x+1)²(x-2)(x-3)≥0
x∈(-∞,-1)w sumie z(-1,2>w sumie (3,∞), liczby {-1,3} nie zawierają się gdyż nie należą do dziedziny funkcji

2)
tgα=0,75

tgα=sinα/cosα
sinα/cosα=0,75
sinα=0,75cosα
sin²α+cos²α=1
(0,75cosα)²+cos²α=1
1,5625cos²α=1
cos²α=0,64
cosα=0,8 lub cosα=-0,8
poniewaz α∈(π;1,5π)
wiec cosα=-0,8

sinα=0,75*(-0,8)
sinα=-0,6

ctgα=1/tgα
ctgα=1/0,75
ctgα=4/3

Answer 2

1. górną część ułamka doprowadzasz do postaci iloczynowej: (x+1)(x-2). Dolną również: (x+1)(x-3).
czyli:
f(x)=(x+1)(x-2)/(x+1)(x-3). Broń cię Panie Boże skracać teraz (x+1)! Najpierw trzeba wyznaczyć dziedzinę. Jedynym wymogiem tutaj jest, by mianownik ułamka nie był zerem, a więc x≠-1 i x≠3 stąd dziedzina D:x∈R\{-1,3}
f(x)=0 wtedy, gdy licznik=0, a więc gdy x=-1 lub gdy x=2. Dziedzina wyklucza x=-1, więc jedynym miejscem zerowym funkcji jest x=2.
Następna część: funkcja ma być nie mniejsza niż zero. Iloraz jest większy lub równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn jest większy równy zero:
f(x)≥0<=>(x+1)(x-2)(x+1)(x-3)≥0
Do tego przyda się rysunek schematyczny (rys1.png)
Stąd: x∈(-niesk., -1)u(-1,2>u(3,+niesk.)

2. tgα=3/4, więc z miejsca: ctgα=4/3 (bo tgα=1/ctgα)
wiedząc, że π<α<3/2π (przypuszczam że o taki przedział ci chodzi, bo ten co podałeś nie istnieje), wiesz że kąt należy do trzeciej ćwiartki układu współrzędnych, a w trzeciej ćwiartce tg i ctg są dodatnie, a sin i cos są ujemne.
Podnosisz sobie równanie do kwadratu:
tg²α=9/16
dalej:
sin²α/cos²α=9/16
wykorzystując jedynkę trygonometryczną (sin²α+cos²α=1) likwidujesz sinusa:
(1-cos²α)/cos²α=9/16
czyli po przekształceniach:
cos²α=16/25
pamiętając, że cosinus musi być ujemny, jedynym rozwiązaniem jest cosα=-4/5.
dalej korzystasz z definicji tangensa: tgα=sinα/cosα i wyznaczasz sinusa jako tgα*cosα = -⅗

3. Spójrz na rysunek, a ja ci go objaśnię:
Punkt przecięcia przedłużeń ramion dla ułatwienia oznaczyłem jako S. Z polecenia wiesz, że ∢ASB=90, ∢DAC=30, i ∢ABC=30, oraz, że AD=8.
Pamiętając, że AB||CD, zauważasz, że ∢SCD = ∢CBA = 30. Zauważasz, że trójkąt SCD ma już określone dwa kąty, więc trzeci (∢SDC) musi mieć 180-90-30=60 stopni. Znów z tej samej zależności (AB||CD) wnioskujesz, że ∢DAB=∢SDC=60, stąd ∢CAB=60-30=30 stopni.
Dalej: ∢ADC jest kątem dopełniającym dla ∢SDC więc ma miarę 180-60=120 stopni. Mając dwa kąty trójkąta ACD, liczysz kąt ∢ACD, który ma 180-30-120=30 stopni.
Zauważasz, że ACD jest równoramienny, więc CD=AD=8.
Długość odcinka AC to 2*cos30*8, czyli 8√3.
Zauważasz, że ABC jest również równoramienny, więc AC=BC=8√3.
Długość AB to 2*cos30*8√3=24. Mając długość wszystkich boków liczysz obwód: 8+8+8√3+24=40+8√3, oraz pole, gdzie h wynosi sin60*8=√3/2 *8=4√3, czyli: P=(8+24)*4√3/2=64√3.

Answer 3

Zad 1

Dziedzina; mianownik musi być ≠0 więc:
x²-2x-3≠0
Δ=4+12=16, zatem:
x≠(2-4)/2 oraz x≠(2+4)/2
x≠-1 oraz x≠3
D=R\{-1,3}

Jeśli chodzi o drugą część zadania, narysuj sobie poziomą oś i zaznacz na niej liczby -1,3 oraz miejsca zerowe funkcji kwadratowej będącej w liczniku: x²-x-2, a więc co łatwo policzyć: -1 i 2.;) Zatem zaznaczasz 3 liczby bo -1 się powtarza. Następnie szkicujesz wykresy obu funkcji(oba mają ramiona skierowane ku górze a ich miejsca zerowe znasz).

Funkcja ta będzie nieujemna, gdy:
obie składowe funkcje są + lub - (oraz licznik=0 i mianownik≠0)
(ODCZYTUJEMY Z OSI)
wykresy obu składowych funkcji są + gdy x∈(-∞,-1)∨(3,∞)
wykresy obu składowych funkcji są - gdy x∈(-1,2)
licznik=0 gdy x=-1 lub x=2; mianownik=0 gdy x=-1 lub x=3
zatem -1 wyrzucamy.

Suma tych przedziałów daje rozwiązanie x∈(-∞,-1)∨(-1,2>∨(3,∞)

to zadanie zabrało mi chęci do robienia następnych ;D dorobię może potem, pozdrawiam