Question

Rozwiaz rownanie:

2|x+6|-|x|+|x-6|= 18

Answer 1

2|x + 6| - |x| + |x - 6|= 18

 

Z def. wartości bezwzględnej:

 

 

 

Rozpatrzymy cztery przypadki:

1) x ∈ (- ∞; - 6)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

2·(- x - 6) - (- x) + (- x + 6) = 18

- 2x - 12 + x - x + 6 = 18

- 2x - 6 = 18

- 2x = 18 + 6

- 2x = 24 /:(- 2)

x = - 12 ∈ (- ∞; - 6)

Zatem: x = - 12

 

2) x ∈ <- 6; 0)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

2·(x + 6) - (- x) + (- x + 6) = 18

2x + 12 + x - x + 6 = 18

2x + 18 = 18

2x = 18 - 18

2x = 0 /:2

x = 0 ∉ <- 6; 0)

Zatem: x ∈ Ф

 

3) x ∈ <0; 6)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

2·(x + 6) - (x) + (- x + 6) = 18

2x + 12 - x - x + 6 = 18

18 = 18

x ∈ R, ale uwzględniając rozpatrywany przedział: x ∈ <0; 6) n R = <0; 6)

Zatem: x ∈ <0; 6)

 

4) x ∈ <6; + ∞)

W tym przedziale równanie przyjmuje postać:

2·(x + 6) - (x) + (x - 6) = 18

2x + 12 - x + x - 6 = 18

2x + 6 = 18

2x = 18 - 6

2x = 12 /:2

x = 6 ∈ <6; + ∞)

Zatem: x = 6

 

Rozwiązaniem równania: 2|x + 6| - |x| + |x - 6|= 18 będzie suma rozwiązań uzyskanych w rozpatrywanych przypadkach. Zatem:

x ∈ {- 12} u Ф u <0; 6) u {6} = {- 12} u <0; 6>

 

Odp. x ∈ {- 12} u <0; 6>