Rozwiąż układ równań.... Question from @Woldering

January 2019 1 43 Report

Rozwiąż układ równań

$\left \{ {{y=|x+1|} \atop {x^2+y^2=4y-2x+5}} \right.$

brightersicy Dany jest układ równań:
(#): $\left \{ {{y=|x+1|} \atop {x^{2}+y^{2} = 4y -2x + 5}} \right.$ .

Przeanalizujmy pierwszy warunek naszego układu (#):
(W1): $y = |x+1|$ .
Możemy opuścić wartość bezwzględną, otrzymując alternatywę warunków:
$(N1): y =x+1$
lub
$(N2): y = -(x+1) = -x-1$ .

Zgodnie z powyższymi rozważaniami, układ (#) można zapisać jako alternatywę dwóch następujących układów:
$(U1): \left \{ {{y=x+1} \atop {x^{2}+y^{2}=4y-2x+5}} \right.$
lub
$(U2):\left \{ {{y=-x-1} \atop {x^{2}+y^{2} = 4y-2x+5}} \right.$ .

Co zrobiliśmy?
Warunek W1 zapisaliśmy jako alternatywę dwóch warunków N1 i N2, zatem nasz układ (#) możemy "rozbić" na dwa układy, w których warunek W1 zastępujemy warunkami N1 i N2,

(*):
Teraz rozwiążemy osobno każdy z układów U1 i U2 i otrzymamy dwa zbiory rozwiązań każdego z nich, powiedzmy R1 i R2. Potem trzeba będzie wziąć sumę mnogościową rozwiązań R1 i R2 każdego z tych układów, aby otrzymać zbiór rozwiązań układu (#).

Rozwiążmy teraz układ U1:
$\left \{ {{y=x+1} \atop {x^{2}+y^{2}=4y-2x+5}} \right. \\ \left \{ {{y=x+1} \atop {x^{2} + (x+1)^{2} = 4(x+1) -2x+5}} \right.$
$\left \{ {{y=x+1} \atop {x^{2}+x^{2}+2x+1 = 4x+4-2x+5}} \right. \\ \left \{ {{y=x+1} \atop {2x^{2}+2x+1=2x + 9}} \right.$
$\left \{ {{y=x+1} \atop {2x^{2}=8}} \right. \\ \left \{ {{y=x+1} \atop {x^{2}=4}} \right.$
$\left \{ {{y=x+1} \atop {x=2lubx=-2}} \right.$
$\left \{ {{y=x+1} \atop {x=2}} \right.$ lub $\left \{ {{y=x+1} \atop {x=-2}} \right.$
$\left \{ {{y=3} \atop {x=2}} \right.$ lub $\left \{ {{y=-1} \atop {x=-2}} \right.$ .

Zatem rozwiązanie R1 układu U1 to zbiór dwóch par liczb:
R1 = {(2,3), (-2,-1)}.

Rozwiążmy teraz układ U2:
$\left \{ {{y=-x-1} \atop {x^{2}+y^{2} = 4y-2x+5}} \right. \\ \left \{ {{y=-x-1} \atop {x^{2} + (-x-1)^{2}=4(-x-1) -2x + 5}} \right.$
$\left \{ {{y=-x-1} \atop {x^{2} + x^{2}+2x+1 =-4x-4-2x+5}} \right.$
$\left \{ {{y=-x-1} \atop {2x^{2}+2x+1=-6x + 1}} \right.$
$\left \{ {{y=-x-1} \atop {2x^{2}+8x=0}} \right. \\ \left \{ {{y=-x-1} \atop {x^{2}+4x=0}} \right.$
$\left \{ {{y=-x-1} \atop {x(x+4)=0}} \right. \\ \left \{ {{y=-x-1} \atop {x=0 lub x = -4}} \right.$
$\left \{ {{y=-x-1} \atop {x=0}} \right.$ lub $\left \{ {{y=-x-1} \atop {x=-4}} \right.$
$\left \{ {{y=-1} \atop {x=0}} \right.$ lub $\left \{ {{y=3} \atop {x=-4}} \right.$ .

Zatem rozwiązanie R2 układu U2 to zbiór dwóch par liczb:
R2 = {(0,-1), (-4,3)}.

Zatem, zgodnie z informacją (*), bierzemy sumę mnogościową zbiorów R1 i R2, aby otrzymać zbiór R rozwiązań układu (#).

Otrzymujemy:
R = {(2,3), (-2,-1), (0,-1), (-4,3)}.
Zatem istnieją cztery rozwiązania układu równań (#) - każde z nich to PARA LICZB (bo jest to układ z DWOMA niewiadomymi).