Question

Rozwiąż równanie:

+x+2=0

Answer 1

x³-3x²+x+2=0
Rozkładając wielomian na czynniki skorzystamy z twierdzeń:
Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek całkowity, to jest on dzielnikiem wyrazu wolnego.

Dzielniki liczby 2 to 2, - 2, 1, - 1
W(2) = 2³-3*2²+2+2=8-12+2+2=-4+2+2=0, czyli liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu.

Korzystamy z tw. Bezouta
Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-a
Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, czyli dzieli on się przez dwumian (x - 2)

 

x²-x-1 

 ------------

 x³-3x²+x+2 :(x-2)

-x³+2x²

------------

-x²+x+2

x²-2x

-----------

-x+2

x-2

-------

0

 

   

x³-3x²+x+2 = 0

x³-3x²+x+2 =(x-2)(x²-x-1)

(x-2)(x²-x-1) = 0
x - 2 = 0 v x²-x-1 = 0
x - 2 = 0
x = 2

 

x²-x-1=0

Δ=1-4*1*(-1)=1+4=5

√Δ=√5

x2=(1-√5)/2

x3=(1+√5)/2

 

ostatecznie rozwiazaniem rownania sa :

x1=2

x2=(1-√5)/2

x3=(1+√5)/2

 

licze na naj 

Answer 2

x³ - 3x² + x + 2 = 0

p: {-1, -2, 2, 1}

q: {-1, 1}

p/q: { -, 1, -2, 2, 1} -----wsród tych liczb jest (są ) pierwiastki wolomianu

W(1) = 1 - 3 + 1 + 2 = 1 ≠ 0

W(2) = 8 - 12 + 2 + 2 = -4 + 4 = 0

r = 2

Liczba (-2) jest pierwiastkiem wielomianu gdyż W(2) = 0 zatem wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian (x - r) = (x - 2)

 

   x² - x - 1

--------------------

(x³ - 3x² + x + 2) : (x - 2)

-x³ + 2x²

-------------

 = -x² + x

    x² - 2x

---------------

    =     -x + 2

            x - 2

------------------

             =  =

 

x³ - 3x² + x + 2 = 0

(x - 2)(x² - x - 1) = 0

x - 2 = 0 lub x² - x - 1 = 0

x = 2      lub  Δ = b² - 4ac = 1 + 4 = 5

                    x1 = (-b - √Δ) / 2a = (1 - √5) / 2

                    x2 = (-b + √Δ) / 2a = (1 + √5) / 2

 

odp. x = 2 lub x = (1 - √5) / 2 lub x = (1 + √5) / 2