Rozwiąż równanie:a) odp. b) odp. Proszę zwrócić uwagę, że w równaniach jest wartość bezwzględna.... Question from @Ula303

Roma

$\frac{2}{|x|}+\frac{5}{x-1}=1$

Ustalamy dziedzinę:

|x| ≠ 0 i x - 1 ≠ 0

x ≠ 0 i x ≠ 1

Zatem:

D = R \ {0; 1}

$\frac{2}{|x|}+\frac{5}{x-1}=1 \\\\ \frac{2}{|x|} = 1 -\frac{5}{x-1} \\\\ \frac{2}{|x|} = \frac{x -1}{x-1} \ -\frac{5}{x-1} \\\\ \frac{2}{|x|} = \frac{x -1 - 5}{x-1} \\\\ \frac{2}{|x|} = \frac{x -6}{x-1} \\\\ |x| \cdot (x - 6) = 2 \cdot (x - 1)$

Na podstawie def. wartości bezwzględnej rozpatrujemy rozwiązanie w dwóch przedziałach:

1. x ∈ (- ∞; 0)

W tym przedziale |x| = - x, czyli równanie ma postać:

$-x \cdot (x - 6) = 2 \cdot (x - 1) \\\ -x^2 + 6x = 2x - 2 \\\ -x^2 + 6x - 2x + 2 = 0 \\\ -x^2 + 4x + 2 = 0 \\\ \Delta = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 16 + 8 = 24 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \\\ x_1 = \frac{-4 - 2\sqrt{6}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \cdot (2 +\sqrt{6})}{-2} = 2 + \sqrt{6} \not\in (-\infty; \ 0) \\\ x_2 = \frac{-4 + 2\sqrt{6}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \cdot (2 -\sqrt{6})}{-2} = 2 - \sqrt{6} \in (-\infty; \ 0)$

2. x ∈ <0; + ∞)

W tym przedziale |x| = x, czyli równanie ma postać:

$x \cdot (x - 6) = 2 \cdot (x - 1) \\\ x^2 - 6x = 2x - 2 \\\ x^2 - 6x - 2x + 2 = 0 \\\ x^2 - 8x + 2 = 0 \\\ \Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 64 + 8 = 56 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14} \\\ x_1 = \frac{8 - 2\sqrt{14}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \cdot (4 -\sqrt{14})}{2} = 4 - \sqrt{14} \in \langle 0; \ +\infty) \\\ x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{14}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \cdot (4 +\sqrt{14})}{2} = 4 + \sqrt{14} \in \langle 0; \ +\infty)$

Rozwiązaniem równania jest suma rozwiązań w rozpatrywanych przedziałach z uwzględnieniem dziedziny, zatem:

$x \in \{2 - \sqrt{6}; \ 4 - \sqrt{14}; \ 4 + \sqrt{14} \}$

$\frac{1}{2 \cdot |x+3|-4}=\frac{4}{5}$

Ustalamy dziedzinę:

2 ·|x+3|-4 ≠ 0

2 ·|x+3|≠ 4 /:2

|x+3| ≠ 2

x+ 3 ≠ 2 i x + 3 ≠ - 2

x ≠ 2 - 3 i x ≠ - 2 - 3

x ≠ - 1 i x ≠ - 5

Zatem:

D = R \ {- 5; - 1}

$\frac{1}{2 \cdot |x+3|-4}=\frac{4}{5} \\\\ 4 \cdot (2 \cdot |x+3|-4) = 5 \ /: 4 \\\\ 2 \cdot |x+3|-4 = \frac{5}{4} \\\\ 2 \cdot |x+3|= \frac{5}{4} + 4\\\\ 2 \cdot |x+3|= \frac{5}{4} + \frac{16}{4} \\\\ 2 \cdot |x+3|= \frac{21}{4} \ /: 2\\\\ |x+3|= \frac{21}{4} \cdot \frac{1}{2} \\\\ |x + 3| = \frac{21}{8} \\\\ x + 3 = \frac{21}{8} \ lub \ x + 3 = -\frac{21}{8}$