Question

rozwiąż równanie stopnia n a)2x^3-5x^2-8x+20=0 b)x^3-3x-2=0

Answer 1

Rozwiązanie w załaczniku poprawione

Answer 2

a)

 

 

 

 

Odp. x ∈ {-2; 2; 2½}

 

b)

I sposób

 

 

 

Odp. x ∈ {- 1; 2}

 

II sposób

Aby zapisać dane równanie w postaci iloczynowej skorzystamy z tw. o całkowitych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych: "Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek całkowity p, to p jest dzielnikiem wyrazu wolnego" oraz z tw. Bezouta: "Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-p".

 

W(x) = x³ - 3x - 2

W(2) = 2³ - 3·2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0, zatem liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, czyli wielomian dzieli się przez (x- 2).

(x³ - 3x - 2) : (x - 2) = x² + 2x + 1

- x³ + 2x²

-----------

+ 2x² - 3x - 2

- 2x² + 4x

-----------

+ x - 2

- x + 2

-------

R = 0

Stąd:

x³ - 3x - 2 = (x² + 2x + 1)(x - 2)

 

Zatem otrzymujemy:

 

 

 

 

Odp. x ∈ {- 1; 2}