Question

Rozwiąż równanie: 1+5+9+...+x = 153

Answer 1

Zauważmy, że kolejne wyrazy mają postać 4y+1. Jeżeli od każdego składnika po lewej stronie odejmiemy 1, to dostaniemy równanie: 0+4+...+4y=153-y-1 (po lewej stronie było y+1 składników). Lewa strona przyjmuje zatem postać: 4*(1+2+...+y), a jest taki wzór, że 1+2+...+y=y(y+1)/2. Zatem mamy równanie 4*(y(y+1)/2)=152-y. Zatem dalej mamy 2*y*(y+1)=152-y. Czyli 2*y*y+3*y-152=0. Rozwiązując to równanie kwadratowe otrzymujemy, że y=8. Zatem skoro x=4y+1, to x=33.

Answer 2

Ciąg arytmetyczny:
a₁ = 1
r = a₂ - a₁ = 5 - 1 = 4

Sn = n * [2a₁ + (n-1) * r]/2
153 = n * [2*1 + (n-1) * 4]/2
153 = n * [2 + 4n- 4]/2
153 = [4n²- 2n]/2
153 = 2n² - n
2n² - n - 153 = 0
Δ = b² - 4ac = 1 - 4*2 * (-153) = 1225
√Δ = 35
n₁ = (1-35)/4 < 0 odrzucone
n₂ = (1+35)/4 = 9

n=9

a₉ = x
a₉ = a₁ + (n-1) * r = 1 + 8*4 = 33
x = 33