Question

Rozwiąż nierówność wielomianową:

Answer 1

Rozwiąż nierówność wielomianową:

 

Najpierw rozkładam wielomian na czynniki liniowe

W(x) = x⁴ - x³ - 2x - 4 = 0

W(-1) = (-1)⁴ -(- 1)³ -2*(-1) - 4 =  1 +1 +2  - 4 = 0

 

Jeżeli W(-1) = 0, to x = -1 jest pierwiastkiem wielomianu, tzn. wielomian W(x) dzieli sie bez reszty przez dwumian (x +1)

 

(x⁴ - x³ - 2x - 4 ) : ( x +1) = x³ -2x² +2x - 4

-x⁴ -x³

---------

 =   -2x³ -2x -4 

     +2x³ +2x²

---------------

      = 2x² -2x -4

        -2x² -2x

        ------------

        =    -4x - 4

              +4x +4

             -----------

                =    =

 

wielomian W(x) = x⁴ - x³ - 2x - 4 = (x +1)*(x³ -2x² +2x - 4)

Teraz sprawdzam pierwiastki wielomianu 

G(x) = x³ -2x² +2x - 4

G(2) = 2³ -2*2² +2*2 - 4 =  8 -8 +4 - 4 = 0

G(2)  = 0, więc  x = 2 jest pierwiastkiem  wielomianu G(x) tzn. ,że wielomian G(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x -2)

 

(x³ -2x² +2x - 4 ) : ( x -2) = x² +2

-x³ +2x²

----------------

=     =    2x - 4

           -2x + 4

         --------------

             =     =

 

Wielomian W(x) = x⁴ - x³ - 2x - 4  można zapisac w postaci iloczynowej

W(x) =   x⁴ - x³ - 2x - 4 = (x +1)*( x -2) *(x² +2)

 

W(x) = 0

 (x +1)*( x -2) *(x² +2) = 0

  x +1 = 0, lub x -2 = 0, lub (x² +2) = 0

  x = -1,    lub  x = 2,    lub  ( brak pierwiastków, bo x² +2 jest zawsze dodatnie dla każdego  x i w nierówności pomijam to wyrażenie)

Wobec tego rozwiązuję nierówność:

 

x⁴ - x³ - 2x - 4  <  0

 

Rysuję parabolę  ramionami skierowaną w górę i przechodzącą przez x = 2 oraz x = -1, zaznaczam przedział , dla którego nierówność jest mniejsza od zera

 

x ∈ ( -1; 2)

 

Odp. x ∈ ( -1; 2)