Question

Rozwiąż nierówność i podaj ile licz naturalnych należy do zbioru jej rozwiązań.

a) x²-9x+8 mniejsze, równe 0
b) -x² + 11x - 18 > 0
c) x² - 6x - 27 < 0
d) 2x² - 4x - 30 < 0
e) -x² +2x + 35 większe, równe 0
f) 12x² - 13x - 120 mniejsze, równe 0

Answer 1

a) 

x² - 9x + 8 ≤ 0

Wyliczamy pierwiastki tak, jak w równaniu kwaratowym: 

√Δ = 7

x₁ = 1,  x₂ = 8 

Postać nierówności rozłożonej na czynniki (x - x₁)(x - x₂):

(x - 1)(x - 8) ≤ 0

PIerwiastki nanosimy na oś liczbową, następnie od góry z prawej strony kreślimy krzywą przecinającą naprzemian od góry i od dołu oś w punktach pierwiastków - wynika to z własności funkcji kwadratowej (sprawdź z wykresem funkcji). Obszar nas interesujący jest pod osią (bo znak ≤) i zawiera pierwiastki, bo nierówność jest nieostra:

x ∈ <1; 8>, liczby naturalne z tego przedziału to 1, 2, ..., 7, 8, czyli jest ich 8. 

 

b)

-x² + 11x - 18 > 0

Przekształcamy na postać x² + ... < 0, aby zachować ten sam sposób kreślenia krzywej przecinającej oś (czyli od góry z prawej).

x² - 11x + 18 < 0

√Δ = 7     

(x - 2)(x - 9) < 0

x ∈ (2; 9), liczby naturalne z tego przedziału to 3, 4, ..., 7, 8, czyli jest ich 6. 

 

c)

x² - 6x - 27 < 0

√Δ = 12    

(x + 3)(x - 9) < 0   

x ∈ (-3; 9), liczby naturalne z tego przedziału to 1, 2, ..., 7, 8, czyli jest ich 8.

 

d)

2x² - 4x - 30 < 0

x² - 2x - 15 < 0   

√Δ = 8   

(x + 3)(x - 5) < 0   

x ∈ (-3; 5), liczby naturalne z tego przedziału to 1, 2, 3, 4, czyli jest ich 4. 

 

e)

-x² +2x + 35 ≥ 0

x² - 2x - 35 ≤ 0   

√Δ = 12  

(x + 5)(x - 7) ≤ 0   

x ∈ <-5; 7>, liczby naturalne z tego przedziału to 1, 2, ..., 7, czyli jest ich 7.    

 

f) 

12x² - 13x - 120 ≤ 0

√Δ = 77

(x + 8/3)(x - 15/4) ≤ 0   

x ∈ <-2 ⅔; 3 ¾>, liczby naturalne z tego przedziału to 1, 2, 3, czyli jest ich 3.