Question

Rozwiąż krok po kroku

a) 3(x+2)2-2(x-2)(x+3)=8

b)(x-3)2≥ (2-3x)2-(x-2)(x+2)

c) x3+3x2-2x-6=0

d) (x-3)(x+2)(x-1) ≥ 0

Answer 1

a)

3·(x + 2)² -2(x - 2)(x + 3) = 8

3·(x² + 4x + 4) - 2·(x² + 3x - 2x - 6) = 8

3x² + 12x + 12 - 2x² - 6x + 4x + 12 - 8 = 0

x² + 10x + 16 = 0

Δ = 10² - 4 · 1 · 16 = 100 - 64 = 36

√Δ = √36 = 6

x₁ = (- 10 - 6) / (2 · 1) = - 16 / 2 = - 8

x₂ = (- 10 + 6) / (2 · 1) = - 4 / 2 = - 2

 

Odp. x = - 8 lub x = - 2

 

b)

(x - 3)² ≥ (2 - 3x)² - (x - 2)(x + 2)

x² - 6x + 9 ≥ 4 - 12x + 9x² - x² + 4

x² - 6x + 9 - 4 + 12x - 9x² + x² - 4 ≥ 0

- 7x² + 6x + 1 ≥ 0

Δ = 6² - 4 · (- 7) · 1 = 36 + 28 = 64

√Δ = √64 = 8

x₁ = (- 6 - 8) / [2 · (- 7)] = - 14 / - 14 = 1

x₂ = (- 6 + 8) / [2 · (- 7)] = 2 / - 14 = - ¹/₇

Rysujemy parabolę (patrz załącznik) - zaznaczamy miejsca zerowe: - ¹/₇, 1. Ramiona paraboli są skierowane w dół, bo współczynnik a = - 7 < 0.  Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności (x - 3)² ≥ (2 - 3x)² - (x - 2)(x + 2):

x ∈ <- ¹/₇; 1>

 

Odp. x ∈ <- ¹/₇; 1>

 

c)

x³ + 3x² - 2x - 6 = 0

x² · (x + 3) - 2·(x + 3) = 0

(x + 3)(x² - 2) = 0

(x - 3)(x - √2)(x + √2) = 0

x - 3 = 0  ∨  x - √2 = 0  ∨  x + √2 = 0

 

x - 3 = 0

x = 3

 

x - √2 = 0

x = √2

 

x + √2 = 0

x = - √2

 

Odp. x = - √2 lub x = √2 lub x = 3

 

d)

(x - 3)(x + 2)(x - 1) ≥ 0

(x - 3)(x + 2)(x - 1) = 0

x - 3 = 0  ∨  x + 2 = 0  ∨  x - 1 = 0

 

x - 3 = 0

x = 3

 

x + 2 = 0

x = - 2

 

x - 1 = 0

x = 1

 

Zaznaczamy miejsca zerowe: - 2, 1 i 3 na osi zerowej i rysujemy wykres (patrz załącznik) - zaczynamy rysować wykres z prawej strony od góry, bo współczynnik przy największej potędze wielomianu jest większy od zera. Wykres przecina oś w miejscach zerowych, bo pierwiastki są 1-krotne. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności (x - 3)(x + 2)(x - 1) ≥ 0:

x ∈ <-2; 1> u < 3; + ∞)

 

Odp. x ∈ <-2; 1> u < 3; + ∞)