Rozkmini ktos te zadania z calek ? ;).... Question from @Michal012223

December 2018 1 11 Report

Rozkmini ktos te zadania z calek ? ;)

Paawełek A) Mogę sobie rozdzielić, tj:
$\int \left( \dfrac{3}{x^6}- \dfrac{\pi}{1+x^2} +2\cos x\right)dx= 3 \int \dfrac{dx}{x^6}- \pi \int \dfrac{dx}{1+x^2}+2\int \cos x dx$

Pierwszą całkę wyznaczam ze wzoru (który polecam się nauczyć):
$\int x^adx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C \\ \\ \hbox{Stad:} \\ \\ 3\int \dfrac{dx}{x^6}=3\int x^{-6}dx= 3 \cdot \dfrac{x^{-6+1}}{-6+1}+C =3 \cdot \dfrac{x^{-5}}{-5}= -\dfrac{3}{5}x^{-5}=-\dfrac{3}{5x^5}$

Kolejna całka - korzystam z faktu, że pochodna arctg x to 1/(1+x^2) :
$\pi \int \dfrac{1}{1+x^2}dx= \pi \arctan x+C$

Kolejna - korzystam z faktu że pochodna sin x to cos x:
$2 \int \cos x dx= 2\sin x + C$

Zestawiając:

$\int \left( \dfrac{3}{x^6}- \dfrac{\pi}{1+x^2} +2\cos x\right)dx= -\dfrac{3}{5x^5}-\pi \arctan x+2\sin x+C$

b) Całkować będę przez części:
$\int x^2 \cdot 5^xdx \\ \\ u=x^2 \qquad dv=5^x \\ du=2x dx \qquad v=\int 5^x dx=\dfrac{5^x}{\ln 5}$

Jeśli chcesz wiedzieć jak scałkować całkę 5^x dx wyjaśnię na samym dole.

Ze wzoru na całkowanie przez części mam dalej:

$\int x^2 \cdot 5^x dx = \int udv = uv - \int vdu = \dfrac{x^2 \cdot 5^x}{\ln 5} - \int\left(2x \cdot \dfrac{5^x}{\ln 5}\right)dx= \\ \\ =\dfrac{x^2 \cdot 5^x}{\ln 5}-\dfrac{2}{\ln 5}\int (x \cdot 5^x) dx$

Całkę x * 5^x całkuję ponownie przez części:

$u=x \qquad dv=5^x \\ du=dx \qquad v=\int 5^x dx = \dfrac{5^x}{\ln 5} \\ \\ \int (5^x \cdot x)dx=\int udv=uv - \int vdu= \dfrac{x \cdot 5^x}{\ln 5}-\int \dfrac{5^x}{\ln 5}dx= \\ \\ =\dfrac{x \cdot 5^x}{\ln 5} - \dfrac{1}{\ln 5} \cdot \int 5^x = \dfrac{x \cdot 5^x}{\ln 5} - \dfrac{5^x}{\ln^2 5}$

Powracam do tamtej całki i podstawiam obliczoną wartość całki 5^x * x dx:

$\int (x^2 \cdot 5^x)dx =\dfrac{x^2 \cdot 5^x}{\ln 5}-\dfrac{2}{\ln 5}\int (x \cdot 5^x) dx = \\ \\ =\dfrac{x^2 \cdot 5^x}{\ln 5}-\dfrac{2}{\ln 5} \cdot \left( \dfrac{x \cdot 5^x}{\ln 5}- \dfrac{5^x}{\ln^2 5}\right)+C=\\ \\ =\boxed{ \dfrac{x^2 \cdot 5^x}{\ln 5} -\dfrac{2x \cdot 5^x}{\ln^2 5}+\dfrac{2 \cdot 5^x}{\ln^3 5}+C}$

Dodatkowo:
Tłumaczę jak obliczyć całkę 5^x dx (jeśli nie znałbyś)
$\int 5^x dx \\ \hbox{Dokonujesz podstawienia:} \\ t=5^x \\ \hbox{Rozniczkujesz obie strony:}\\ dt= 5^x \cdot \ln 5 dx \qquad /:\ln 5 \\ 5^x dx=\dfrac{dt}{\ln 5} \\ \\ \hbox{Skad masz nowa calke:} \\ \\ \int \dfrac{dt}{\ln 5} = \dfrac{1}{\ln 5} \int dt= \dfrac{1}{\ln 5} t +C \\ \hbox{Powracajac do podstawienia:} \\ \\ \dfrac{1}{\ln 5} \cdot 5^x+C$

c) Zrobimy poprzez podstawianie:

$\int \sin(\ln x) \cdot \dfrac{1}{x}dx \\ \hbox{Dokonujesz podstawienia:} \\ t=\ln x \\ \hbox{Rozniczkujesz obie strony:} \\ dt= \dfrac{dx}{x} \\ \hbox{Skad:} \\ \int \underbrace{\sin(\ln x)}_{\sin t} \cdot \underbrace{\dfrac{dx}{x}}_{dt} = \int \sin t dt = -\cos t + C \\ \hbox{Powracasz do podstawienia i masz wynik:} \\ \\ \int \sin(\ln x) \cdot \dfrac{dx}{x}= \boxed{-\cos (\ln x)+C}$

0 votes Thanks 0