Question

Reszta z dzielenia wielomianu W(x)=x^4-2x^3+ax^2+bx+c przez dwumian x-2 jest równa -24 a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian x+4 wynosi 240. W rozkładzie na czynniki wielomianu W występuje dwumian x+1. Wykaż, że również dwumian x-1 występuje w rozkładzie na czynniki wielomianu W.

Answer 1

Z zał. zadania i tw. Bezouta:

W(2) = -24
W(-4) = 240
W(-1) = 0

W(2) = 2^4 - 2 * 2^3 + 4a + 2b + c = 4a + 2b + c = -24
W(-4) = (-4)^4 - 2 * (-4)^3 + a *(-4)^2 + b * (-4) + c = 256 + 128 + 16a - 4b + c = 384 + 16a - 4b + c = 240 => 16a - 4b + c = -144
W(-1) = (-1)^4 - 2*(-1)^3 + a - b + c = 1 + 2 + a - b + c = 3 + a - b + c = 0 => a - b + c = -3

Rozwiązujemy układ równań:

4a + 2b + c = -24
16a - 4b + c = -144
a - b + c = -3

Zrobię to metodą wyznaczników (można też metodą podstawiania):

W = 4 * (-4) * 1 + 2 * 1 * 1 + 1 * 16 * (-1) - 1 * (-4) * 1 - 2 * 16 * 1 - 4 * 1 * (-1) = -16 + 2 - 16 + 4 - 32 + 4 = -54

W =/= 0 więc układ ma jedno rozwiązanie

W_a = -24 * (-4) * 1 + 2 * 1 * (-3) + 1 * (-144) * (-1) - 1 * (-4) * (-3) - 2 * (-144) * 1 - (-24) * 1 * (-1) = 96 - 6 + 144 - 12 + 288 - 24 = 486

W_b = 4 * (-144) * 1 + (-24) * 1 * 1 + 1 * 16 * (-3) - 1 * (-144) * 1 - (-24) * 16 * 1 - 4 * 1 * (-3) = -576 - 24 - 48 + 144 + 384 + 12 = -648 + 540 = -108

W_c = 4 * (-4) * (-3) + 2 * (-144) * 1 + (-24) * 16 * (-1) - (-24) * (-4) * 1 - 2 * 16 * (-3) - 4 * (-144) * (-1) = 48 - 288 + 384 - 96 + 96 - 576 = -432

a = W_a / W = 486 / (-54) = -9
b = W_b / W = -108 / (-54) = 2
c = W_c / W = -432 / (-54) = 8

W(x) = x^4 - 2x^3 - 9x^2 + 2x + 8

z tw. Bezouta:

W(1) = 1 - 2 - 9 + 2 + 8 = 0
stąd dwumian (x-1) występuje w rozkładzie wielomianu W(x), co kończy dowód.