Question

Reszta dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Jakie liczby mogą byc takimi resztami?

Answer 1

Wydawało by się, że wszystkie liczby złożone, mniejsze od 21, czyli:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18 i 20

Ale niestety nie wszystkie, bo te reszty, które dzialą się przez 3 lub 7 (bo 21 = 3 * 7) nie są dobre....

Dlaczego tak jest?
Bo jeśli liczba daje resztę np. 6, to wtedy taka oryginalna liczba to 21 * k + 6 = 3 * (7k + 2) - jest
podzielne przez 3
Zatem liczby 6, 9, 12, 15, 18 oraz 14 odpadają
Na końcu rozwiązania jeszcze raz to opisuję....

Zatem zostają nam:
4, 8, 10, 16 i 20
Ale....


Przykłady:
dla 4 - 67
dla 8 - 71
dla 10 - 31
dla 16 - 37
dla 20 - 41


(***)
Chodzi o to, że jeżeli liczba x daje resztę r przy dzieleniu przez 21, to liczba x jest postaci:
x = 21 * k + r
gdzie k jest liczbą całkowitą natomiast r jest resztą, czyli 0 <= r <= 20
O liczbie x wiemy, że jest liczbą pierwszą. Zatem gdyby r było podzielne przez 3, to wtedy x dzieli się przez 3 (i nie może być pierwsze)
Mamy wtedy, np. dla r = 6
x = 21k + 6 = 3 * (7k + 2)
i x jest podzielne przez 3 (a miało być x pierwsze) - dlatego liczba 6 nie może być taką liczbą

Answer 2

29/21->r.8
31/21->r.10
37/21->r.16
41/21->r.20
67/21->r.4
Odp. Mogą być to liczby 4, 8, 10, 16, 20.