Question

Punkty A(4,-6) i B(0,2) sa wierzcholkami trojkata ABC. Oblicz pole tego trojkata, jesli jego wysokosci przecinaja sie w punkcie S(1,-5)

Answer 1

A = ( 4; - 6) , B = ( 0; 2)

S = ( 1; - 5)

Wyznaczam pr AB

 

y = a x + b

- 6 = 4a + b

2 = 0 + b

-----------------

- 6 = 4a + 2

4a = - 8

a = - 2

 y = - 2 x + 2

===========

Równanie prostej wyznaczonej przez wysokośc h1  ( na bok AB )

Jest prostopadła do pr AB i przechodzi przez S = ( 1; -5)

-2*a2 = - 1

a2 = 1/2

y = (1/2) x + b2

-5 = (1/2)*1 + b2

b2 = - 5 -1/2 = - 5,5

 y = 0,5 x - 5,5

==================

Równanie prostej wyznaczonej przez wysokośc h2  ( na bok AC )

Jest to pr BS

 y =a x + b

2 = 0 + b

-5 = a + b

-------------------

- 5 = a + 2

a = - 7

y = - 7 x + 2

=================

Wyznaczam pr AC. Jest ona prostopadła do pr BS i przechodzi przez punkt A = (4; -6)

zatem

-7*a3 =  - 1

a3 = 1/7

y = (1/7) x + b3

-6 = (1/7)*4 + b3

- 6 - 4/7 = b3

- 46/7 = b3

 y = (1/7) x - 46/7

==================

Prosta h1  i  pr AC przecinaja sie w punkcie C

 y = 0,5 x - 5,5

y = (1/7) x - 46/7

------------------------

(1/2) x -  11/2 = (1/7) x - 46/7  / * 7

(7/2) x - 77/2 = x - 46

3,5 x - x = 38,5 - 46

2,5 x = - 7,5  / : 2,5

x = - 3

======

y = 0,5 *( -3) - 5,5 = -1,5 - 5,5 = - 7

==============================

C = ( -3; - 7)

===========

 

I AC I^2 = ( - 3 - 4)^2 + (- 7 + 6)^2 = ( -7)^2 + ( -1)^2 = 49 + 1 = 50

I AC I = p(50) = 5 p(2)

=======================

h2  - odległość punktu B od pr AC

 

pr AC :   y = (1/7) x - 46/7

7y = x - 46

x - 7y - 46 = 0

================

A = 1 ,  B = - 7 , C = - 46

B = ( 0; 2)  więc  x0 = 0  ; y0 = 2

 h2 = I  A x0 + B y0 + C  I / p( A^2 + B^2 ]

h2 = I 1*0 + (-7)*2 - 46 I / p ( 1^2 + (-7)^2 )

h2 = I - 60 I / p( 50)

h2 = 60 / p(50) = 60 / ( 5 p(2)) = 12/p(2) = 6 p(2)

=============================================

Pole

P = 0,5 (ACI *h2

P = 0,5 *5 p(2) * 6 p(2) = 30

===============================