Question

Punkty A(-4,2) oraz B(2,6) są symetryczne względem prostej k.Wyznacz równanie prostej k.

Answer 1

A, B - punkty symetryczne względem prostej k
k - oś symetrii
l - prosta przechodząca przez punkty A i B
k _I_ l (prosta k jest prostopadła do prostej l)
S - środek odcinka AB, S ∈ l i S ∈ k
A = (-4,2)
B = (2,6)
Wyznaczamy środek odcinka AB:
"Środek odcinka o końcach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma współrzędne: S = (x₁ + x₂ / 2, y₁ + y₂ / 2)"

S = (-4 + 2 / 2, 2 + 6 / 2) = (-2 / 2, 4 / 2) = (-1, 4)

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B:
"Prosta przechodząca przez dwa punkty A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂) ma równanie: (x₂ - x₁)(y - y₁) = (y₂ - y₁)( x - x₁)"

(2 + 4)(y - 2) = (6 - 2)(x + 4)
6(y - 2) = 4(x + 4)
6y - 12 = 4x + 16
6y = 4x + 16 + 12
6y = 4x + 28 /:6
y = 4x/6 + 28/6
y = 2x/3 + 14/3
y = ⅔*x + 4⅔

Wyznaczymy współczynnik kierunkowy prostej k:
"Współczynniki kierunkowe a₁ i a₂ prostych prostopadłych spełniają wzór: a₁ * a₂ = -1"
k _I_ l , czyli a₁ * a₂ = -1 stąd a₂ = -1 / a₁
a₁ = ⅔
a₂ = - 1 / ⅔ = - ³/₂ = - 1,5

Znając współczynnik a oraz współrzędne punktu S należącego do prostej k do wyznaczymy współczynnik b
S = (-1, 4); a = - 1,5
y = ax + b
4 = -1,5*(-1) + b
4 = 1,5 + b
b = 4 - 1,5 = 2,5

Prosta k (oś symetrii) ma równanie: y = -1,5x + 2,5