Question

1.Wykaż,że jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą to liczba postaci x⁶-x⁴-x²+1 jest podzielna przez 32.

2.Wiadomo,że x+y+2=0.Udowodnij,że wartość wyrażenia x²+y²+x×y-4 jest najmniejsza dla x=y=-1.

Answer 1

1.x jest liczbą całkowitą nieparzystą, czyli możemy ją
zapisać x = 2n+ 1 {gdzie n∈C, n należy do całkowitych}
dana jest liczba x⁶ - x⁴ - x² + 1
można ją zapisać w postaci iloczynowej
x⁴(x²- 1) - (x²- 1) = (x⁴- 1)(x²- 1)=
(x²- 1)(x² + 1)(x²- 1)=
(x- 1)(x+ 1)(x- 1)(x+ 1)(x²+ 1)=
(x-1)(x-1)(x+1)(x+1)(x²+1)=
{teraz za x wstawiamy 2n+1}
(2n+1-1)(2n+1-1)(2n+1+1)(2n+1+1)[(2n+1)²+1]=
2n*2n*(2n+2)(2n+2)[4n²+4n+1+1]=
2n*2n*2(n+1)*2(n+1)*[4n²+4n+2]=
16*n*n*(n+1)(n+1)*2*(2n²+2n+1)=
32*n²*(n+1)²*(2n²+2n+1)
jeden z czynników liczby x⁶ - x⁴ - x² + 1 to liczba 32, więc nasza
liczba jest podzielna przez 32.
Odp. Jeśli x jest liczbą całkowitą nieparzystą, to
liczba postaci x⁶ - x⁴ - x² + 1 jest podzielna przez 32.