Proszę o WYTŁUMACZENIE poniższych zadańPierwsze zadanie to dla mnie przypomnienie. Logarytmów jeszcz.... Question from @ag94

Zadanie 1.

$\\\sqrt[3]{(-8)^{-1}}*16^{^{\frac{3}{4}}}=\sqrt[3]{(-2^{3})^{-1}}*(2^{4})^{^\frac{3}{4}}}=\\\\= (-2)^{-1}*2^{3}=-\frac{1}{2}*8=-4$

Na początku zamieniamy -8 na potegę liczby 2 czyli (-2)³=-8

Następnie zamieniamy 16 na potęgę o podstawie 2 czyli 2⁴=16

Wiemy, że cokolwiek podniesione do tej samej potęgi, której odpowiada stopień pierwiasta daje nam tą samą liczbę tzn. ∛a³ = a

dlatego też ∛(-2³)⁻¹=(-2)⁻¹

Dalej skraca nam się 4 z mianownikiem potęgi ¾ i zostaje nam sam licznik jako 2³

Reszte potęgujemy, mnożymy i odpowiedzią jest podpunkt B

======================================================================

Zadanie 2.

$2*log_{\frac{1}{3}}9=2*log_{\frac{1}{3}}3^{2}=4*log_{\frac{1}{3}}3=4*(-1)=-4$

Tutaj zamieniamy 9 na potęgę liczby 3 czyli 3²=9

Dalej korzystamy ze wzoru $log_{_{a}}b^{\alpha}=\alpha*log_{_{a}}b$

2*2=4 stąd też $4log_{_\frac{1}{3}}}3$

Dalej wyliczam $\\\log_{_\frac{1}{3}}}3=x\\\\ \frac{1}{3}^{x}=3\\ 3^{-x}=3^{1}\\ -x=1\\ x=-1$

i mnożymy 4*-1=-4

Odpowiedź B

=======================================================================

Zadanie 3.

To zadanie należało do najprzyjemniejszych na tegorocznej maturze - można je było rozwiązać na wiele sposobów. Ja pokaże swój :)

Wiemy, że ciąg (9,x,19) jest ciągiem arytmetycznym i możemy zastosować wzór na średnią arytmetyczną aby wyliczyć środkowy wyraz zgodnie ze wzorem:

$\\a_{n}=\frac{a_{n-1}+x_{a+1}}{2}\\\\ x=\frac{9+19}{2}=14$

Tym oto sposobem znamy nasz x.

x=14

Wiemy też, że ciąg (x,42,y,z) jest ciągiem geometrycznym wcześniej obliczyliśmy x i wiemy, że wynosi on 14 dlatego też ciąg ten przyjmuje teraz postać (14,42,y,z)

Korzystając z zależności w ciągu geometryczny możemy wyliczyć jego iloraz

$\\q=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\\\\ q=\frac{42}{14}=3$ wyliczyliśmy iloraz tego ciągu i wynosi on q=3

Teraz łatwo możemy wyliczyć y i z - jeżeli oznaczymy sobie, że y to trzeci wyraz ciągu geometrycznego a z to czwarty wyraz tego ciągu to pierwszym wyrazem tego ciągu bęcie nasz x czyli 14.

a₁=x=14

a₂=42

a₃=y

a₄=z

Korzystamy dalej z własności ciągu geometrycznego a₃=a₂*q

y=a₃=42*3=126

z=a₃*q=126*3=378

Odp.: x=14, y=126, z=378.

Pozdrawiam :)

3 votes Thanks 1

Roma

Zad. 1

$\sqrt[3]{(-8)^{-1}} \cdot 16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[3]{\frac{1}{(-8)^1}} \cdot (2^4)^{\frac{3}{4}}= \sqrt[3]{\frac{1}{-8}} \cdot 2^{4 \cdot \frac{3}{4}}=- \frac{1}{2} \cdot 2^3=- \frac{2^3}{2} =$

$= - 2^{3 - 1} = - 2^2 = - 4$

Odp. B

Zad. 2

Mamy obliczyć ile wynosi podwojony logarytm liczby 9 przy podstawie ⅓

$2 log_{\frac{1}{3}} 9 = x$

Def. logartymu:

$log_b a = x \ <=> \ b^x = a; \ a > 0, b > 0 \ i \ b \neq 1$ , czyli

logarytm liczby a przy podstawie b jest równy wykładnikowi potęgi, do której nalezy podnieść jej podstawę, aby otrzymać liczbę logarytmowaną.

Własność logarytmów - logarytm potęgi

$log_b a^n = n \cdot log_b a; \ a >0, b >0 \ i \ b \neq 1, n \in R$

Na podstawie tej definicji i własności otrzymujemy:

$2 log_{\frac{1}{3}} 9 = x$

$log_{\frac{1}{3}} 9^2 = x$

$(\frac{1}{3})^x = 9^2$

Korzystamy z właśności potęg:

$(3^{- 1})^x = (3^2)^2$

$3^{- x} = 3^4$

Z równości potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

$- x = 4 \ / \cdot (- 1)$

$x = - 4$

Odp. B

Zad. 3

Def.

Ciąg liczbowy $(a_n)$ nazywamy arytmetycznym wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego wyrazu, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby r, którą nazywamy różnicą ciągu.

$a_{n_1} = a_n + r; \ n \in N, r \in R$

Tw.

Każdy wyraz ciągu arytmetycznego z wyjątkiem pierwszego jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego:

$a_n = \frac{a_{n - 1} + a_{n + 1}}{2}$

Def.

Ciąg liczbowy $(a_n)$ nazywamy geometrycznym wtedy, gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego wyrazu, powstaje z pomnożenia wyrazu poprzedniego przez stałą q, którą nazywamy ilorazem ciągu.

$a_{n_1} = a_n \cdot q; \ n \in N, q \in R$

Tw.

Każdy wyraz ciągu geometrycznego z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego dla ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego:

$a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$