Question

Proszę o rozwiązanie (razem z obliczeniami a nie same wyniki)
a) log₂√₂ 4√8
ile wynosi x?
b) log₂√₂ x = -3

₂√₂ - tu: podstawa logarytmu

Answer 1

A) obliczamy log₂√₂ 4√8 =x
z definicji logarytmu
(₂√₂)^x = 4√8
2√2=2*(2^½) =2^³/₂ (mnożenie potęg o tej samej podstawie)
4√8= (2^²)*(8^½) = (2^²)*[(2^³)^½]=(2^²)*(2^³/₂)= 2^⁷/₂
(2^³/₂ )^x = (2^⁷/₂)
2^(³/₂x) = (2^⁷/₂) (potęgowanie potęgi)
podstawy są równe, więc wykładniki też
³/₂x = ⁷/₂
x = ⁷/₂ : ³/₂ = ⁷/₂ * ²/₃ = ⁷/₃
log₂√₂ 4√8 = ⁷/₃
b) log₂√₂ x = -3 z definicji logarytmu
(2√2)^⁻³ = x
(2^³/₂)^⁻³ = x
2^ ((³/₂)*⁻³)= x
2^(⁻⁹/₂) = x
x = 1/ (2^(⁹/₂))
x = 1/(√2^⁹)= 1/(16√2) (usuwamy niewymierność z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez √2)
x = √2/32