Question

Proszę o pomoc:

Drut długości 20dm podzielono na dwie części. Z jednego kawałka drutu zrobiono kwadratową ramkę o boku długości x [dm], zaś z drugiego prostokątną której jeden bok jest o 1dm dłuższy od drugiego.

a) napisz wzór funkcji P opisującej sumę pól kwadratu i prostokąta ograniczonych ramkami w zależności od długości boku kwadratu. Określ dziedzinę funkcji P

b) Wykaż że suma pól kwadratu i prostokąta będzie najmniejsza gdy drut zostanie podzielony na pół. Wyznacz wymiary prostokątnej ramki

Answer 1

x - długość boku kwadratu

4x - długość   I   kawałka drutu

20 -  4x   - długość   II  kawałka drutu

y - szerokość prostokąta

y + 1  - długość prostokąta

Mamy

2 *y + 2*(y + 1) = 20 - 4x

4y + 2 = 20 - 4x

4y = 18 - 4x

y = 4,5 - x

-----------------

a)

x^2   - pole kwadratu

y*( y + 1) = ( 4,5 - x)*(5,5 - x)  - pole prostokąta

P(x) = x^2 + (4,5 - x)*(5,5 - x)     - suma pól kwadratu i prostokąta

============================

Dziedzina funkcji P :

x > 0  i  y > 0

x > 0  i    4,5 - x > 0

x > 0  i   x < 4,5

DP = ( 0 ; 4;5 )

=======================

b)

P(x) = x^2 + (4,5 - x)*(5,5 - x) = x^2 + 24,75 -4,5 x - 5,5 x + x^2

P(x) = 2 x^2 - 10 x + 24,75

a = 2 > 0 , zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze - funkcja posiada

minimum ( najmniejszą wartość ) dla x = p = 10/4 = 2,5

wtedy  4x = 4*2,5 = 10

czyli długość  i  kawalka drutu równa jest 10  i długość  II  kawalka drutu równa jest 10.

y = 4,5 - x

czyli

y = 4,5 - 2,5 = 2

y + 1 = 3

Wymiary prostokątnej ramki: 2 dm  na  3 dm.

==============================================