Question

Proszę o pomoc w zadaniu z matematyki. Poziom Liceum. Dane w załączniku. Zamiast "k" trzeba wpisać "14".

Za najlepszą odpowiedź daje naj.

Answer 1

1.Niech O, środek okręgu, S - środek PQ
trójkąt SOP jest prostokątny, przy czym przeciwprostokątna SP ma długość
4k, a przyprostokątna OP 2√3k
Ponieważ SP jest √3/2 dłuższy od OP, to ten trójkąt jest 30,60,90, zatem kąt SOP=SOQ=60st -> POQ = 120st -> łuk PQ jest 1/3 całego okręgu -> łuk PQ ma długość 8kpi/3

2. Oczywiście β=2α -> α+2α=90-2k -> 3α = 90-2k-> α=( 90-2k)/3, β=2( 90-2k)/3

3. promień okręgu wpisanego ma długość 1/3 wysokości, a wysokość jest √3 razy dłuższy od połowy podstawy:
h = 3√3 k -> a/2 = 3k -> pole = 9√3 k

4. długość boku = 4√3, ponieważ bok jest (√3)/2 razy dłuższy od wysokości, to mamy trójkąt 30,60,90 i kąt 60st to ten szukany kąt

5. odcinek łączący środki ramion ma długość (a+b)/2 (połowa sumy podstaw). Zatem P=16+k=h(a+b)/2=h(30-k) -> h=(16+k) / (30-k)

6.przekątna dzieli na 2 trójkąty 30,60,90 , które są przystające, zatem można ułożyć z nich trójkąt równoboczny o długości 30-k. Zatem pole prostokąta to to samo co pole tego trójkąta:
P= (30-k)^2 *√3/4

7.Wektor łączący te przeciwległe wierzchołki (czyli przekątna) ma współrzędne
( k+2 , 3-k) = (16 , -11) -> długość tego wektora do kwadratu wynosi 16^2+11^2=256+121= 377. Ponieważ kwadrat jest też rombem, więc można liczyć jako d^2/ 2, gdzie d to przekątna:
P= 377 / 2