Proszę o napisanie wszystkich zadań ! :) Nie chce aby ktoś robił pojedyncze zadania... potrzebuje wszystkich rozwiązań.. z góry dziekuje ;) oczywiscie dam NAJ! do 22 marca 2012r do godziny 13:00
1. Dany jest trójkąt ABC , gdzie A (-2,3) B (-2,2) C(2,0) wyznacz:
a) równanie ogólne prostych zawierającej bok BC trójkata
b) długośc wysokości trójkąta opuszczonej na bok BC
2.Wyznacz wartość parametru m, dla której proste
K: (m+1)x+3y-12=0
L: mx-my+3=0 są prostopadłe
3. Określ wzajemne położenie prostej i okręgu
O : x ² + y ² +kx-8y+21=0
L: y=2x+6
4.Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt
A (4,2) , o środku w punkcie S(2,1)
5. Napisz równanie prostej i równoległej i prostopadłej
Do prostej k : 5x-y+3=0 i przechodzącej przez punkt A(1,-3)
6. Dane są punkty A(-3,5) i B(2,0) podaj wspołrzedne wektora AB, długośc tego wektora i współrzędne środka odcinka AB.
zad 1
Równanie kierunkowe prostej: y=ax+b
Równanie ogólne prostej: Ax+By+C=0
A (-2,3) B (-2,2) C(2,0)
--------------
a) równanie prostej zawierającej bok BC:
{0=2a+b
{2=-2a+b
---
{b=-2a
{2=-2a-2a
---
{b=-2a
{-4a=2
---
{b=1
{a=-1/2
----
Równanie kierunkowe prostej: y=-x/2 +1
Rónanie ogólne prostej:
y=-x/2 +1
x/2+y-1=0 |*2
x+2y-2=0 [<- równanie ogólne prostej]
-----------------
b) Długość wysokośći:
Odległość punktu P(x₀, y₀) od prostej danej w postaci ogólnej [odległość punktu A od prostej (AB)] liczymy ze wzoru:
=======================
zad 2
[Mała uwaga: Jeżeli chodzi o nazewnictwo w układzie kartezjańskim (współrzędnych) duże litery zarezerwowane są dla oznaczenia punktów (np A(x, y), K(x, y) itd.) natomiast proste nazywa się małymi literami: k, l, m itd.]
k: (m+1)x+3y-12=0 [k: A₁x+B₁y+C₁=0]
l: mx-my+3=0 [l: A₂x+B₂y+C₂=0]
Warunek prostopadłości:
A₁A₂+B₁B₂=0
------
A₁=m+1
B₁=3
A₂=m
B₂=-m
(m+1)m+m*(-m)=0
m²+m-m²=0
m=0
====================
zad 3
Wzajemne położenie prostej k i okręgu O:
- brak wspólnych punktów: d=|O, k|>r
- jeden punkt wspólny - prosta jest styczną: d=|O, k|=r
- prosta przecina okrąg w dwóch punktach: d=|O, k|<r
[d=|O, k| - odległość środka okręgu od prostej k,
r - promień okręgu]
-------------------------
l: y=2x+6
l: 2x-y+6=0
---
O: x²+y ²+6x-8y+21=0
[Przekształcam do postaci: (x-a)²+(y-b)²=r²]
Współrzędne środka okręgu S(a, b):
2a=-6
a=-3
2b=8
b=4
21=a²+b²-r²
r²=(-3)²+4²-21
r²=9+16-21
r²=4
r=2
O: (x+3)²+(y-4)²=4
Odległość prostej l od okręgu O:
Jak widać odległość d jest mniejsza od promienia:
d<r
1,79<2
Stąd można stwierdzić, że prosta przecina okrąg.
====================
zad 4
Równanie okręgu o(S,r)[- okrąg o środku w S(a,b) i promieniu r>0]:
(x-a)²+(y-b)²=r²
-----------
- środek okręgu - punkt S(2, 1)
(x-2)²+(y-1)²=r²
- do zadanego okręgu należy punkt A(4, 2):
(4-2)²+(2-1)²=r²
2²+1²=r²
4+1=r²
5=r²
r=√5
Równanie okręgu o środku w punkcie S(2, 1) i promieniu r=√5>0:
(x-2)²+(y-1)²=5
===================
zad 5
k: 5x-y+3=0 [postać ogólna]
k: y=5x+3 [postać kierunkowa]
--------------
1. Prosta prostopadła przechodząca przez A:
- warunek prostopadłości:
a₂=-1/a₁
a₁=5
a₂=-1/5
---
-3=1*(-1/5)+b
b=-3+1/5
b=-14/5
Równanie prostej prostodpadłej:
y=-x/5-14/5 [postać kierunkowa]
x+5y+14=0 [postać ogólna]
----------------------
2. Prosta równoległa przechodząca przez A:
- warunek równoległości:
a₂=a₁
a₁=5=a₂
---
-3=5*1+b
b=-8
Rónanie prostej równoległej:
y=5x-8 [postać kierunkowa]
5x-y-8=0 [postać ogólna]
=================
zad 6
Dane są dwa punkty w kartezjańskim ukłądzie współrzędnych:
.
Współrzędna weltora AB (strzałka nad AB skierowana w prawą stornę) określamy/ liczymy ze wzoru:
[Gdyby chodziło o współrzędne wektora AB, to należy zamienić miejscami x_{B}-x_{A} na x_{A}-x_{B}; podobnie z drugą współrzędną].
Długość wektora AB liczymy ze wzoru:
----------------------
Dane są A(-3, 5) i B(2, 0)
1. Współrzędne wektora AB:
AB=[2-(-3), 0-5]
AB=[2+3, -5]
AB=[5, -5]
---------------
2. Długość wektora AB:
|AB|=√[(2-(-3))²+(0-5)²]=√(5²+(-5)²)=√(25+25)=√50=5√2
[Do tego miejsca nad każdym wyrażeniem "AB" strzałka skierowana w prawą stronę]
---------------
3. Środek odcinka AB: