Question

Proszę jak najszybciej... nie byłam w szkole jak to robili i w ogóle nie wiem o co chodzi, a jutro mam kartkówkę.. Z góry dzięki..

Answer 1

1
an=a1+(n-1)*r
a14=-5+(14-1)*3
a14=-5+13*3
a14=34
Sn=(a1+an)/2*n
S14=(-5+34)/2*14
S14=29*7
S14=203
2
a)an=8n+3
an+1-an=8(n+1)+3-8n-3=8n+8+3-8n-3=8
jest c. arytmetycznym, bo ma stałą różnicę r=8
b)
an+1-an=(n+1)²+(n+1)+2-n²-n-2=n ²+2n+1+n+3-n ²-n-2=2n-2
nie jest ciągiem arytmetycznym
3
an=-1/5n+2/7
an+1-an=-1/5(n+1)+2/7-(-1/5n+2/7)=-1/5 n-1/5+2/7+1/5n-2/7=-1/5<0 malejący ciąg
4
a6=20
a10=4
a10-a6=4r
4-20=4r
-16=4r
r=-4

a6=a1+5r
20=a1+5*(-4)
20=a1-20
a1=40

6
28;a;b;52
52=28+3r
3r=52-28
3r=24
r=8
a=28+8=36
b=36+8=44

7
2+5+8+,,,+x=126
a1=2
r=3
x=an
Sn=(2a1+(n-1)*r)/2 *n
126=(4+(n-1)*3)/2 *n /*2
252=(4+3n-3)*n
3n ² + n -252=0 n∈N+
Δ=1+3024=3025
√Δ=55
n=-56/6 odpada
n=9
x=a9=2+8*3=26
x=26

Answer 2

1. Oblicz n-ty wyraz oraz sumę n poczatkowych wyrazów c. arytmetycznego, w którym: a1 = -5, r = 3, n = 14
Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arttmetycznego
a(n) = a1+ (n-1)*r
a14 = -5 + (14-1)*3
a14 = -5 +13*3
a14 = -5 + 39
a14 = 34

Korzystam ze wzoru na sumę n wyrazów ciagu arytmetycznego:
S(n) = (a1 + an):2 *n
S14 = (a1 + a14) :2 *14
S14 = ( -5 + 34) : 2 *14
S14 = 29 *7
S14 = 203

2. Zbadaj czy ciąg a) an = 8n +3 b) an = n² + n +2 jest ciagiem arytmetycznym
Aby zbadać czy ciag jest ciagiem arytmetycznym nalezy obliczyć wyraz nastepny i sprawdzić , czy różnica a(n+1) - a(n) jest stała ( jest liczbą )
r = a(n+1) - a(n)

a) a(n) = 8n +3
wyrazem następnym jest a(n+1) = 8(n +1) +3
w miejsce n wstawiia się (n+1)
a(n+1) = 8(n +1) +3
a(n+1) = 8n +8 +3
a(n+1) = 8n + 11

Obliczam różnicę a(n+1) - a(n)
a(n+1) - a(n) = 8n + 11 -(8n +3)
a(n+1) - a(n) = 8n +11 -8n -3
a(n+1) - a(n) = 8
Różnica wynosi 8 jest liczbą, więc jest to ciąg arytmetyczny

b) an = n² + n +2
a(n+1) = (n+1)² + ( n+1) + 2
a(n +1) = n² +2n +1 + n +1 +2
a(n+1) = n² +3n +4

Obliczam różnicę a(n+1) - a(n)
a(n+1) - a(n) = n² +3n +4 - (n² + n +2)
a(n+1) -a(n) = n² +3n +4 - n² -n -2
a(n+1) -a(n) = 2n + 2
Różnica nie jest liczbą!. Wyrazenie 2n +2 zalezy od n, przyjmuje r óżne wartości w zależności od tego ile wynosi n
Ciag a(n) = n² + n +2 nie jest arytmetyczny.

3. Ciąg a(n) jest określony wzorem an = -1/5n +2/7. Zbadaj jego monotoniczność.
Aby zbadać monotoniczność ciagu należy zbadać czy różnica wyrazu następnego i poprzedniego jest dodatnia czy ujemna tzn. a(n+1) - a(n) > 0, czy a(n+1) - a(n) < 0

Ciąg jest rosnący , gdy róznica ta jest dodatnia
Ciag jest malejacy gdy różnica ta jest ujemna

a(n) = -1/5n +2/7
a(n+1) = -1/5(n+1) + 2/7
a(n+1) = -1/5n -1/5 +2/7
a(n+1) = -1/5n -7/35 + 10/35
a(n+1) = -1/5n + 3/35

a(n+1) - a(n) = -1/5n + 3/35 - (-1/5n +2/7)
a(n+1) - a(n) = -1/5n +3/35 + 1/5n -2/7
a(n+1) -a(n) = 3/35 - 10/35
a(n+1) - a(n) = -7/35
Ponieważ różnica jest ujemna , więc ciag jest malejący

4.Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciagu arytmetycznego an jeśli
a6 = 20 i a10 = 4

Korzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego:
a(n) = a1 + ( n-1)*r

a6 = a1 + (6 -1)*r = 20
a10 = a1 + (10-1)*r = 4

a1 + 5r = 20
a1 + 9r = 4

Powstał układ 2 równań z 2 niewiadomymi

a1 = 20 -5r
20 -5r +9r = 4

a1 = 20 -5r
4r = 4 -20

a1 = 20 -5r
r = (-16):4 = - 4

a1 = 20 - 5*(-4) = 20 + 20 = 40
r = -4

a1 = 40
r = -4

5. Wyznacz ciag arymetyczny (an) w którym S4 = 18 ∧ S7 = 10,5

Korzystam ze wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego
Sn = 1/2( a1 +an)*n

oraz ze wzoru na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego
an = a1 + (n-1)*r

Sn = 1/2[a1 + a1 + (n-1)*r ] *n
Sn = 1/2[ 2a1 + (n-1)*r) ] *n

S4 = 1/2[ 2*a1 + (4 -1)*r]*4 = 18
S7 = 1/2[ 2*a1 + (7-1)*r]*7 = 10,5

1/2[ 2*a1 + (4 -1)*r]*4 = 18 /*2
1/2[ 2*a1 + (7-1)*r]*7 = 10,5 /*2

[ 2*a1 + 3*r]*4 = 36 /:4
[ 2*a1 + 6*r]*7 = 21 /:7

2*a1 + 3*r = 9
2*a1 + 6*r = 3

2a1 = 9 -3r
9 -3r + 6r = 3

2a1 = 9 -3r
3r = 3 -9

2a1 = 9 -3r
r = (-6): 3 = -2

2a1 = 9 -3*(-2)
r = -2

2a1 = 9 + 6 = 15
r = -2

a1 = 15/2
r = -2


6. Między liczby 28 i 52, wstaw takie 2 liczby a i b , aby ciag { 28,a,b, 52} był artmetyczny

{ 28,a,b, 52}
a1 = 28
a = a1 + (2-1)*r = 28 +r
a = 28 +r
b = a1 + (3-1)*r = 28 + 2*r
b = 28 +2r
a4 = 52

r = a4 - b
r = 52 - (28 +2r)
r = 52 -28 -2r
r +2r = 24
3r = 24
r = 24 :3
r = 8
mając a1 oraz r , obliczam a i b
a = 28 + r
a = 28 + 8 = 36
a = 36

b = 28 +2r
b = 28 + 2*8 = 28 + 18 = 44
b = 44

a = 36
b = 44


7. Lewa strona równania 2 + 5 + 8 + ...+x = 126 jest sumą kilku poczatkowych wyrazów ciagu arytmetycznego. Oblicz x

a1 = 2
a2 = 5
a3 = 8
an = x
Sn = 126

Obliczam różnicę r
r = a3 - a2
r = 8 -5 = 3
r = 3

a1 = 2
r = 3
an = x
Majac a1 oraz r stosuje wzór na sume n wyrazów ciagu arytmetycznego
Sn = 1/2*(a1 + an)*n
oraz na n-ty wyraz ciagu arytmetycznego
an = a1 + ( n-1)*r
x = 2 + ( n-1)*3

Sn = 1/2( 2 + x)*n = 126
1/2( 2 + x)*n = 126
1/2[ 2 + 2 +(n-1)*3]*n = 126 /*2
( 4 + 3n - 3)*n = 252
( 3n +1)*n -252 = 0
3n² + n -252 = 0
Δ = 1² -4*3*(-252) = 1 + 3024 = 3025
√Δ = √ 3025 = 55
n1 = ( -1 -55): 2*3 = (-56) : 6 = (-28/3) pomijam bo n musi być liczbą całkowita dodatnią, bo to są numery kolejne wyrazów
n2 - ( -1 +55): 2*3 = 54 :6 = 9
rozwiazaniem równania jest n = 9
n =9

Obliczam teraz x
x = 2 + ( n-1)*3
x = 2 + (9 -1)*3
x = 2 + 8*3
x = 2 + 24
x = 26