Question

Prostokąt ma boki o długości a cm i b cm. Bok a powiększamy o x cm, zaś bok b zmniejszamy o x cm. Dla jakiej wartości x pole nowego prostokąta będzie największe?

Proszę o dokładne wytłumaczenie i zamieszczenie wszystkich obliczeń.
Szczególnie ważne jest dla mnie opisanie jak określić kiedy pole jest największe. Niestety, mój nauczyciel w szkole zawiódł...

Answer 1

Wymiary 1 prostokąta:
szerokość=a
długość=b
pole=ab

wymiary 2 prostokata:
długość=b-x
szerokośc=a+x
pole=(b-x)(a+x)=ab+bx-ax-x²

pole prostokąta bedzie najwieksze, gdy ten prostokąt bedzie kwadratem, czyli:
b-x=a+x
b-a=x+x
2x=b-a
x=½(b-a)
pole nowego prostokata bedzie największe dla x równego połowie różnicy długości boków b i a



pole prostokata masz zawsze najwieksze, gdy ten prostokąt jest kwadratem

Answer 2

A, b - długości boków prostokąta
a > 0
b > x ≥ 0

a + x, b - x - długości boków nowego prostokąta
P - pole nowego prostokąta

P = (a + x)(b - x) = ab - ax + bx - x² = -x² - (a-b)x + ab, czyli pole jest funkcją x
współczynnik przy x² jest mniejszy od zera - ramiona paraboli są skierowane w dół,
Δ = (a-b)² -4*(-1)*ab = a² - 2ab + b² + 4ab =
= a² + 2ab + b²= (a+b)² > 0, więc wierzchołek paraboli leży nad osią OX i ma współrzędne x = (a-b)/(-2), y = -(a+b)²/(-4)
x = (b-a)/2, y = (a+b)²/4

funkcja osiąga maksimum dla x = (b-a)/2

Po podstawieniu x = (b-a)/2 do wzoru na pole i obliczeniach otrzymamy: P = [½(a+b) ]²
prostokąt o największym polu to kwadrat o boku długości ½(a+b)