Question

Proste równania logarytmiczne.

Załącznik.

Answer 1

a)

log x - 4 [ 2x ] = 2  <=>  ( x - 4)^2 = 2x    i    x > 4  i  x  różne od 5

x^2 - 8 x + 16 = 2x

x^2 - 10 x + 16 = 0

delta = ( -10)^2 - 4*1*16 = 100 - 64 = 36

p ( delty) = 6

x = ( 10 - 6)/2 = 4/2 = 2   <  4   - odpada

lub

x = ( 10 + 6)/2 = 16/2 = 8

========================

b)

log 0,5 x + 1  [ 4x ] = 2  <=> ( 0,5 x + 1)^2 = 4x   i   0,5 x + 1 > 0  i  0,5 x + 1  różne od 1

i  4x > 0

 

0,25 x^2 + x + 1 = 4x    i     x > - 2   i    x  różne od  0   i  x > 0

x^2 + 4 x + 4 - 16 x = 0

x^2 + -12 x + 4 = 0

--------------------------

delta = (-12)^2 - 4*1*4 = 144 - 16 = 128 = 64*2

p( delty) = 8 p(2)

x = ( 12 - 8 p(2))/2 = 6 - 4 p(2)   > 0

lub

x = ( 12 + 8 p(2))/2 = 6 + 4 p(2) > 0

Odp.  x = 6 - 4 p(2)  lub  x = 6 + 4 p(2)

===============================

p(2) - pierwiastek kwadratowy z 2

 

c)

log 2x [4x - 1] = 2  <=>  (2x)^2 = 4x - 1    i   2x > 0  i   2x  różne od 1  i   4x > 1

 

4 x^2 = 4x - 1     i  x > 0    i   x  różne   1/2  i   x > 1/4

4 x^2 - 4 x + 1 = 0

delta = (-4)^2 - 4*4*1 = 16 - 16 = 0

x =  4/8 = 1/2  - odpada   - brak rozwiązań

============

  d)

log x [ 6x - 9 ] = 2   <=>  x^2 = 6x - 9    i  x > 0  i  x jest różne od 1   i  6x - 9 > 0

 x^2 - 6x + 9 = 0     i  x > 0   i   x jest różne od  1   i   x > 1,5

delta = ( -6)^2 - 4*1*9 = 36 - 36 = 0     i   x > 1,5

x = 6/2 = 3

==========

 

e)

log 3x + 5  [ 30 x ] = 2  <=>  (3x + 5)^2 = 30 x    i  3x + 5 > 0  i 3x + 5  różne od 1  

                                               i    30 x > 0

9x^2 + 30 x + 25 - 30 x = 0     i      x > 0

9 x^2 + 25 = 0

9 x^2 = - 25

x^2 = - 25/9  - sprzeczność   - brak rozwiązania

=============================================