Proste równania logarytmiczne.Załącznik.... Question from @Justynka1545

October 2018 1 33 Report

Proste równania logarytmiczne.

Załącznik

Roma

Rozwiążemy równania korzystając z def. logarytmu:

Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę logarytmowaną b, co możemy zapisać:

$log_a \ b = c \ => \ a^c = b$ , przy czym a, b > 0 i a ≠ 1

$log_3 \ (\frac{2}{x} - 1) = 2$

Zał.

$\frac{2}{x} - 1 > 0 \\\ \frac{2}{x} - \frac{x}{x} > 0 \\\ \frac{2 - x}{x} > 0 \\\ x \neq 0 \ \wedge \ (2 - x) \cdot x > 0 \\\\ x \neq 0 \\\\ (2 - x) \cdot x > 0 \\\ Wyznaczamy \ miejsca \ zerowe: \\\ (2 - x) \cdot x = 0 \\\ x = 0 \ \vee \ 2 - x = 0 \\\\ x = 0 \\\\ 2 -x = 0 \\\ - x = - 2 \ / \cdot (-1) \\\ x = 2 \\\\ czyli \ x \in (0; \ 2) \\\\ Zatem: \\\ D = (0; \ 2)$

$log_3 \ (\frac{2}{x} - 1) = 2 \\\\ 3^2 = \frac{2}{x} - 1 \\\\ \frac{2}{x} - 1 = 9$

Zał.

$x \neq 0 \\\\ \frac{2}{x} - 1 - 9 = 0 \\\\ \frac{2}{x} - 10 = 0 \\\\ \frac{2}{x} - \frac{10x}{x} = 0 \\\\ \frac{2 - 10x}{x} = 0 \\\\ 2 - 10 x = 0 \\\\ - 10x = - 2 \ / :(- 10) \\\\ x = \frac{-2}{-10} \\\\ x = \frac{1}{5} \in D$

Odp. $x = \frac{1}{5}$

$log_x \ 81 = -2$

Zał.

$x > 0 \ \wedge \ x \neq 1 \\\\ Zatem: \\\ D = R^+ \setminus \{1\}$

$log_x \ 81 = -2 \\\\ x^{-2} = 81\\\ x^{-2} = 9^2 \ \vee \ x^{-2} = (-9)^2\\\\ x^{-2} = 9^2 \\\ x^{-2} = (\frac{1}{9})^{-2}\\\ x = \frac{1}{9} \in D \\\\ x^{-2} = (-9)^2 \\\ x^{-2} = (-\frac{1}{9})^{-2}\\\ x = -\frac{1}{9} \notin D$

Odp. $x = \frac{1}{9}$

$log_x \ 64 = 2$

Zał.

$x > 0 \ \wedge \ x \neq 1 \\\\ Zatem: \\\ D = R^+ \setminus \{1\}$

$log_x \ 64 = 2 \\\\ x^2= 64 \\\ x^2= 8^2 \ \vee \ x^2 = (-8)^2 \\\\ x^2 = 8^2\\\ x = 8 \in D \\\\ x^2 = (-8)^2\\\ x = -8 \notin D$

Odp. $x =8$

$log_x \ 25 = -2$

Zał.

$x > 0 \ \wedge \ x \neq 1 \\\\ Zatem: \\\ D = R^+ \setminus \{1\}$

$log_x \ 25 = -2 \\\\ x^{-2} = 25\\\ x^{-2} = 5^2 \ \vee \ x^{-2} = (-5)^2\\\\ x^{-2} = 5^2 \\\ x^{-2} = (\frac{1}{5})^{-2}\\\ x = \frac{1}{5} \in D \\\\ x^{-2} = (-5)^2 \\\ x^{-2} = (-\frac{1}{5})^{-2}\\\ x = -\frac{1}{5} \notin D$

Odp. $x = \frac{1}{5}$

$log_{2x - 3} \ 25 = 2$

Zał.

$2x - 3 > 0 \ \wedge \ 2x - 3 \neq 1 \\\\ 2x - 3 > 0 \\\ 2x > 3 \ /: 2 \\\ x > 1,5 \\\\ 2x - 3 \neq 1 \\\ 2x \neq 1+ 3 \\\ 2x \neq 4 \ /:2 \\\ x \neq 2 \\\\ czyli x \in (1,5; \ + \infty) \setminus \{2\} \\\\ Zatem: \\\ D = (1,5; \ + \infty) \setminus \{2\}$

$log_{2x - 3} \ 25 = 2 \\\\ (2x - 3)^2 = 25 \\\ 4x^2 - 12x + 9 - 25 = 0 \\\ 4x^2 - 12x - 16 = 0 \ /:4 \\\ x^2 - 3x - 4 = 0 \\\ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5 \\\\ x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = - 1 \notin D \\\\ x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \in D$

Odp. $x = 4$

$log_{5-2x} \ 36 = 2$

Zał.

$5-2x > 0 \ \wedge \ 5-2x \neq 1 \\\\ 5 - 2x > 0 \\\ - 2x > - 5 \ /:(-2) \\\ x < 2,5 \\\\ 5-2x \neq 1 \\\ - 2x \neq 1 - 5 \\\ - 2x \neq - 4 \ /:(-2) \\\ x \neq 2 \\\ czyli \ x \in (-\infty; \ 2,5) \setminus \{2 \} \\\\ Zatem:\\\ D = (-\infty; \ 2,5) \setminus \{2 \}$

$log_{5-2x} \ 36 = 2 \\\\ (5 - 2x)^2 = 36 \\\ 25 - 20x + 4x^2 - 36 = 0 \\\ 4x^2 - 20x - 11 = 0 \\\ \Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-11) = 400 + 176 = 576 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{576} = 24 \\\\ x_1 = \frac{20 - 24}{2 \cdot 4} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \in D \\\\ x_2 = \frac{20 + 24}{2 \cdot 4} = \frac{44}{8} = 5\frac{1}{2} \notin D$