Question

Prosta l jest styczna do kręgu o środku 0 w punkcie A, AB jest cięciwą okręgu <BOA= 140 stopni. Wówczas ile bśdzie miał kąt miedzy cięciwą AB, a prostą l?

Answer 1

l - prosta styczna do okręgu w punkcie A

O - środek okręgu

A, B - punkty należace do okręgu

A, C - punkty należące do stycznej

AB - cięciwa okręgu

α - kąt między cięciwą AB a styczną l

α = |∢BAC|

OA i OB to promienie okręgu, czyli |OA| = |OB|

czyli ΔAOB jest równoramienny

|∢BOA| = 140° (z treści zadania)

|∢OBA| = |∢OAB| (są to kąty przy podstawie Δ równoramiennego)

|∢BOA| + |∢OBA| + |∢OAB| = 180° (suma kątów w Δ wynosi 180°)

140° + 2* |∢OAB| = 180° (kąty ∢OBA i ∢OAB są równe)

2* |∢OAB| = 180° - 140°

2* |∢OAB| = 40°  /:2

|∢OAB| = 20°

 

"Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia o końcu w punkcie styczności".

stąd |∢OAC| = 90°

|∢OAC| = |∢OAB| + |∢BAC|

|∢BAC| = |∢OAC| - |∢OAB|

α = 90° - 20° = 70°

Odp. Kąt miedzy cięciwą AB, a prostą l wynosi 70°.

 

Ps.

Wynika to również z tw. o kącie między styczną a cięciwą: kąt miedzy styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.

oraz z tw. kącie wpisanym i środkowym opartym na tym samym łuku: miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Miara kąta środkowego opartego na łuku AB wynosi 140° (∢BOA), czyli miara każdego kąta wpisanego opartego na łuku AB wynosi 140°: 2 = 70°, a z tw. o kącie między styczną a cięciwą wynika, że jest on równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie, czyli ma 70°.

 

Answer 2

Otrzymujesz trójkąt równoramienny o długości ramion = r
i kącie rozwartym BOA =140 stopni.
Suma kątów w trójkącie =180 stopni,stąd kąt BAO =(180 -140)/2
kąt BAO =20 stopni
Styczna w punkcie A jest prostopadła do OA,to kąt między styczną a promieniem OA równy jest 90 stopni,zatem kąt między
cięciwą AB,a prostą równy jest : 90 -20 = 70 stopni
Odp.Kąt między cięciwą AB,a prostą(styczną) równy jest 70 stopni.