Question

Pomocy, proszę !!

Zadanie 1

Oblicz i porównaj objętość oraz pola powierzchni całkowitych brył powstałych w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 4 cm i 3 cm wokół :

a) krótszej przyprostokatnej

b) dłuższej przyprostokątnej

Zadanie 2

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka, jeśli jego tworząca o długości 8 cm tworzy z wysokością kąt o miarze 60 stopni

Zadanie 3

Objętość stożka jest równa 108 pi cm szcześciennych a średnica podstawy ma długość 12 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka.

Answer 1

Zad.1.

W wyniku obrotu otrzymamy stożki

a) o promieniu Ra = 4 cm i wysokośi Ha = 3cm (nazwiemy go stożek A)

b) o promieniu Rb = 3 cm i wysokości Hb = 4 cm (ten to stożek B)

Te liczby wystarczą, żeby obliczyć objętość, ale nie wystarczą, żeby obliczyć pole powierzchni. Zaczynamy od objętości:

Va = 1/3 * π * (4 cm)^2 * 3

Va = 1/3 * π * 16 cm^2 * 3

Teraz 1/3 * 3 się redukują do jednego i mamy:

Va = 16π cm^2

Vb = 1/3 * π * (3 cm)^2 * 4

Vb = 1/3 * π * 9 cm^2 * 4

Vb = 12π cm^2

Teraz porównanie objętości tych stożków:

Va - Vb = 16π cm^2  -  12π cm^2

Va - Vb = 4π cm^2

Objętość Va jest o  4π cm^2 większa niż objętość Vb

-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-

Przechodzimy do obliczania pola powierzchni.

Najpierw obliczamy z tw. Pitagorasa tworzącą stożków. W obu stożkach tworząca będzie taka sama, bo przyprostokątne są takie same.

3^2 + 4^2 = l ^2

9 + 16 = l^2

l^2 = 25

l = √25

l = 5 cm

(powyższe rachunki nie były niezbędne, bo trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 i 4 jest to tzw. "trójkąt pitagorejski" i musi mieć przeciwprostokątną = 5 . Podobnie będzie z trójkątami o przyprostokątnych będącymi wielokrotnościami liczb 3 i 4. Np. 6, 8,  30, 40 itd.)

Pole powierzchni całkowitej stożka  A

Ppca = π * (Ra)^2 + π * Ra * l

Ppca = π * (4cm)^2 + π * 4cm * 5cm

Ppca = 16π cm^2 + 20π cm^2 

Ppca = 36π cm^2

Pole powierzchni całkowitej stożka  B

Ppcb = π * (Rb)^2 +π * Rb * l

Ppcb = π * (3cm)^2 + π * 3cm * 5cm

Ppcb = 9π cm^2 + 15π cm^2

Ppcb = 24π cm^2

Teraz porównanie pól tych stożków:

Ppca - Ppcb = 36π cm^2 - 24π cm^2

Ppca - Ppcb = 12π cm^2

Pole powierzchni całkowitej stożka A jest większe o 12π cm^2

Zad.2

Robimy rysunek przekroju osiowego stożka. Byłoby dobrze, gdyby na rysunku kąt między tworzącą a wysokością stożka był 60 stopni. Oznaczamy na rysunku tworzącą

l = 8cm, wysokość h, promień podstawy r (połowa średnicy)

Obliczymy wysokość stożka korzystając z cosinusa 60 stopni

cos 60 stopni = 0,5

cos 60 stopni = h/8

h/8 = 0,5

mnożymy obie strony przez 8

h = 4 cm (obliczyliśmy właśnie wysokość stożka)

Teraz obliczymy promień podstawy r korzystając z sinusa 60 stopni

sin 60 stopni = √3 / 2

sin 60 stopni = r / 8

 r / 8 = √3 / 2

mnożymy obie strony przez 8 aby pozbyć się mianownika z lewej

r = 4√3 cm

Obliczamy objętość stożka'

V = 1/3 * π * r^2 * h

V = 1/3 * π * (4√3 cm)^2 * 4cm

V = 1/3 * π * 16 * 3 cm^2 * 4cm  ( 1/3 * 3 się zredukują do jedynki)

V =  π * 16 cm^2 * 4cm

V = 64π cm^3

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

Ppc = π * r^2 + π * r * l

Ppc = π * ( 4√3 cm)^2 + π *  4√3 cm * 8cm

Ppc = π * 16 * 3 cm^2 + π * 32√3 cm^2

Ppc = 48π cm^2 + 32π√3 cm^2 (wyciągamy teraz  pi przed nawias)

Ppc = π(48 + 32√3) cm^2

 

Zad.3.

Ze wzoru na objętość stożka musimy wyliczyć wysokość stożka h, a potem z tw. Pitagorasa będziemy wyliczać tworzącą stożka l. Średnica podstawy ma 12 cm, czyli promień podstawy r = 6 cm.

V = 1/3 * π * r^2 * h

V = 1/3 * π * (6cm)^2 * h

V = 1/3 * π * 36 cm^2 * h

Zamieniamy stronami i w miejsce V podstawiamy dane z  zadania czyli  108π cm^3 

1/3 * π * 36 cm^2 * h = 108π cm^3

dzielimy obie strony przez π i redukujemy co się da

12h = 108cm

h = 108cm / 12

h = 9cm

Mamy w tej chwili trójkąt prostokątny utworzony przez wysokość stożka h = 9 cm, promień podstawy stożka r = 6 cm. Z tw. Pitagorasa obliczymy przeciwprostokątną tego trójkąta, która jest tworzącą stożka l.

l^2 = h^2 + r^2

l^2 = 9^2 + 6^2

l^2 = 81 + 36

l^2 = 117

l = √117

l = √9 * √13

l = 3√13 cm

Pole powierzchni bocznej stożka obliczamy według wzoru:

Pb = π * r * l

Pb = π * 6 cm * 3√13 cm

Pb = 18π √13 cm^2

To tyle. Nie wszędzie pisałem cm, ale to sam sobie dopiszesz. Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem w rachunkach i moja pisanina Ci się przyda.

Pozdrowionka.