Question

Podaj postać całki krzywoliniowej skierowanej oraz warunek niezależności od drogi całkowania. Czy całka zależy od drogi całkowania? Oblicz jej wartość, jeżeli A(1,-2), B(2,1).
!Zamiast A a całce powinno być AB!

Answer 1

Mając krzywą skierowaną C w R^n, jej parametryzację θ: [a,b] -> R^n oraz ciągle pole wektorowe F: R^n -> R^n definiujemy całkę krzywoliniową z pola F wzdłuż krzywej C jako



gdzie F=(F₁,...,Fn) oraz mnożenie po prawej stronie oznacza iloczyn skalarny.

Mając ciągłe pole wektorowe F=(P(x,y),Q(x,y)) określone na pewnym obszarze zawartym w R², całka skierowana z tego pola wzdłuż pewnej krzywej o końcach AB jest niezależna od drogi całkowania, jeżeli 
 
Wtedy wartość tej całki wynosi U(B) - U(A), gdzie U jest potencjałem F (funkcją której gradient daje F, czyli:
∇U = F)

Całka z zadania jest całką skierowaną, wzdłuż odcinka AB (czyli przebiega od A do B). Pole wektorowe to F(x,y)=(4xy + 2, 2x²)


czyli nasza całka nie zależy od drogi całkowania.

Policzymy na dwa sposoby:
1) z postaci tej całki
Parametryzacja odcinka AB:
AB={ tB + (1-t)A, t ∈ [0,1]}

t(2,1) + (1 - t)(1,-2) = (2t + 1 - t, t - 2 + 2t) = (t + 1, 3t - 2)

θ(t) = (t + 1, 3t - 2) dla t ∈ [0,1]

θ'(t) = (1, 3)

F(θ(t)) = F((t + 1, 3t - 2) = (4(t+1)(3t-2) + 2, 2(t + 1)²) =
= (4(3t² + t - 2) + 2, 2(t² + 2t + 1)) = (12t² + 4t - 6, 2t² + 4t + 2)

F(θ(t)) ∙ θ'(t) = 12t² + 4t - 6 + 3(2t² + 4t + 2) = 18t² + 16t


2) Skorzystamy z własności o niezależności na mocy wcześniej sprawdzonego warunku.
Szukamy U takiego że 
∇U = F

całkujemy po x

interesująca nas całka to