Question

Jaki układ algebraicznych równań liniowych nazywa się jednorodnym? Czy taki układ może być sprzeczny? Odpowiedź uzasadnij. Określ liczbę rozwiązań układu w zależności od parametru a.

Answer 1

Jest to układ równań, w którym wszystkie wyrazy wolne są równe 0.
Nie może być on sprzeczny, ponieważ rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej (żeby otrzymać macierz uzupełnioną, dodajemy do macierzy głównej kolumnę złożoną z samych zer, więc nie zmieni ona rzędu macierzy, bo musiałaby być liniowo niezależna z pozostałymi kolumnami)

Nasz układ jest układem jednorodnym, więc może mieć 1 rozwiązanie lub nieskończenie wiele (nie może być sprzeczny).

Wiemy, że układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeżeli macierz główna jest odwracalna, czyli ma niezerowy wyznacznik.



2a - 1 ≠ 0
2a ≠ 1
a ≠ 0,5

Odp.: Dla a ≠ 0,5 układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, dla a = 0,5 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.