Question

Podaj, ile różnych prostych można przeprowadzić przez
3
5
n
różnych punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe.
Proszę o narysowanie i krótkie wyjaśnienie.

Answer 1

Narysowanie tu nie jest dobrym rozwiązaniem.

Wyjaśnienie jest proste. Skoro żadne 3 z n punktów nie są współliniowe tzn, że prowadząc prostą przez dowolne dwa punkty nie trafię na trzeci.

Teraz tak: mamy konkretny zbiór n punktów z powyższym założeniem o niewspółliniowości. Jak reprezentujemy prostą?

Prosta jest parą nieuporządkowaną dwu punktów (nieuporządkowaną, bo nie jest ważne, który z punktów bierzemy najpierw).

Pytanie zatem brzmi: ile jest par nieuporządkowanych (czyli 2-zbiorów) bez powtórzeń (czyli nie można wziąć pary (A, A)) z n-zbioru (poprzez k-zbiór mam na myśli zbiór o k elementach)?

Odpowiedź jest prosta i wynika ona z definicji dwumianu Newtona:

(n k) [czyt. n po k (n powinno być napisane nad k, ale nie mam tu takiej opcji)] to liczba k-kombinacji z n-zbioru (czyli mówi nam na ile różnych sposobów możemy wyjąć k-elementów z n-zbioru pod warunkiem, że elementy są rozróżnialne).

potrzebna odpowiedź to (n 2) [czyt. n po 2], bo zastanawiamy się ile 2-zbiorów możemy wyjąć z n-zbioru.

ta liczba wynosi dokładnie n * (n-1) / 2 i jest to np. liczba przekątnych (włączając krawędzie) płaskiej figury foremnej (a geometrycznie chodzi nam o to samo - warto zauważyć, że wierzchołki np. 5-kąta foremnego doskonale odpowiadają naszym założeniom - żadne dwa nie są współliniowe).

zatem odpowiedź wynosi n * (n - 1) / 2