Question

Mają byc obliczenia do odpowiedzi . Jedno zadanie.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędz boczna o długości a tworzy z podstawą kąt 60 stopni . Ile wynosi objętośc tego ostrosłupa ?

Odpowiedz ma być a^3pierwiastek z 3 / pod tym ma być 12
^ to znaczy do kwadratu w odpowiedzi

To pilne , blagam

Answer 1

Zauważmy że przekątna podstawy ( przekątna kwadratu ) tworzy z 2 przeciwległymi krawędziami bocznymi trójkąt równoboczny o boku a
niech b - oznacza krawędź podstawy ( bok kwadratu )

b = b√2 ( b√2 - to przekątna kwadratu o boku b i jednocześnie jeden z boków trójkąta równobocznego o boku a )

a = b√2
b√2 = a /:√2
b = a/√2
b = a√2/2

a pole podstawy
Pp = b²
Pp = (a√2/2)² = 2/4 a² = a² * 1/2

oznaczmy h jako wysokość ostrosłupa. Wysokość h tworzy z połową przekątnej kwadratu ( a/2 ) i krawędzią boczną a połowę trójkąta równobocznego ( czyli trójkąt 30, 60 ,90 ) i z tw. pitagorasa

(1/2 a)² + h² = a²
1/4a² + h² = a²
h² = a² - 1/4 a²
h² = 3/4 a² /: √
h = a√3/2

Liczymy objętość

V = 1/3 * Pp *h
V = 1/3 * a² * 1/2 * √3/2 a
V = 1/3 * 1/2 * √3/2 * a³
V = a³ * √3 / 12