Question

PILNE
Wyznacz równanie okregu o promieniu 5 pierwiastków z 2 przechodzącego przez punkty A(6,-1) B(2,1)
Daje naj

Answer 1

A(6,-1)  B(2,1)    R = 5√2-promień
O(x₀,y₀)    środek okręgu

równanie okręgu
(x–x₀)² + (y–y₀)²=R²

R² = (5√2)² = 50

{(6-x₀)²+(-1-y₀)² = 50
{(2-x₀)²+(1-y₀)² = 50     

  25     +     25    = 50
(6-x₀)² + (-1-y₀)² = 50

(6-x₀)² = 25     6-x₀ = 5   x₀ =  1   6-x₀ = -5   x₀ = 11
(-1-y₀)² = 25   -1-y₀ = 5  y₀ = -6  -1-y₀ = -5   y₀ = 4

(2-x₀)²+(1-y₀)² = (2-1₀)²+(1-(-6))² = 1 + 49 = 50 => O(1;-6) pasuje
(2-x₀)²+(1-y₀)² = (2-11)²+(1-4)² = 9²+ 3² = 90    =>  O(11;4) nie pasuje
 
   25    +    25    =  50
(2-x₀)² + (1-y₀)² = 50

(2-x₀)² = 25     2-x₀ = 5  x₀ = -3    2-x₀ =-5  x₀ = 7
(1-y₀)² = 25    1-y₀ = 5   y₀ = -4    1-y₀ =-5  y₀ = 6

(6-x₀)² + (-1-y₀)² = (6-(-3))² + (-1-(-4))² = 9²+3² = 90 => O(-3;-4) nie pasuje
(6-x₀)² + (-1-y₀)² = (6-7)²+(-1-6)² = (-1)²+(-7)² = 50   => O(7;6)  pasuje
środeki okręgu:
O(1;-6) i O(7;6)

równanie okręgu:
(x–x₀)² + (y–y₀)² = R²

1. (x–1)² + (y+6)² = (5√2)²  ⇔  (x–1)² + (y+6)² = 50
2. (x–7)² + (y-6)² = (5√2)²  ⇔   (x–7)² + (y-6)² = 50

Answer 2

Rownanie okregu (x-a)²+(y-b)²=R²  (a;b) to jest srodek okregu,
promien R=5√2 toz (x-a)²+(y-b)²=(5√2)²
(x-a)²+(y-b)²=50
ponewaz punkt A(6;-1) jest punktem okregu wtedy mamy x=-6 y=1; podstawlamy w rownanie okregu
toz (6-a)²+(-1-b)²=50
ponewaz punkt B(2;1) jest punktem okregu wtedy mamy x=2 y=1; podstawlamy w rownanie okregu
toz (2-a)²+(1-b)²=50
mamy uklad rownan
(6-a)²+(-1-b)²=50
(2-a)²+(1-b)²=50
toz
36-12a+a²+1+2b+b²=50
4-4a+a²+1-2b+b²=50
odejmujemy od pierwszego grugie
mamy 36-12a+a²+1+2b+b²-4+4a-a²-1+2b-b²=50-50
32-8a+4b=0  :4
8-2a+b=0
b=2a-8 podstawlamy w pierwsze rownanie:
(6-a)²+(-1-2a+8)²=50
(6-a)²+(7-2a)²=50
36-12a+a²+49-28a+4a²-50=0
5a²-40a+35=0  :5
a²-8a+7=0
Δ=64-28=36 √Δ=6
a1=(8+6)/2=7    b1=2a-8=2*7-8=14-8=6
a2=(8-6)/2=1     b1=2a-8=2*1-8=-6
Odpowiedz: (x-7)²+(y-6)²=50 lub (x-1)²+(y+6)²=50