Question

Wiedząc, że sinx + cosx = 1/pierwiastek z2, oblicz:
a)sinx * cosx
b)Isinx - cosxI
c)son do3 x +cos do3 x
d)sin do4 x + cos do 4 x

Answer 1

A) sinx + cosx = ¹/√₂
sinx * cosx = - ¼
Obliczenia:
korzystamy z wzoru skróconego mnożenia [(a+b)² = a² +2ab +b²]
i sin²x + cos²x = 1 (jedynka trygonometryczna)
(sinx + cosx)² = sin²x + 2sinx*cosx + cos²x
2sinx*cosx = (sinx + cosx)² - sin²x - cos²x
2sinx*cosx = (sinx + cosx)² - (sin²x + cos²x)/:2
sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x)
sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½*1
sinx*cosx = ½( ¹/√₂)² - ½*1 = ¼ - ½ = ¼ - ²/₄ = - ¼

c) sinx + cosx = ¹/√₂
sin³x +cos³x =
korzystamy z wzoru skróconego mnożenia
[a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)
sin³x +cos³x = (sinx + cosx)(sin²x -sinxcosx + cos²x)
sin³x +cos³x = (sinx + cosx)(sin²x + cos²x - sinxcosx)

korzystamy (z przykładu a)
sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x)
sinx*cosx = - ¼

czyli
sin³x +cos³x = (sinx + cosx)(sin²x + cos²x - sinxcosx)=
¹/√₂*(1 - ( - ¼)) = ¹/√₂ * ⁵/₄ = ⁵/(₄√₂) = (⁵√²)/₈

d) sinx + cosx = ¹/√₂
sin⁴x + cos⁴x = (sin²x + cos²x)² - 2sin²xcos²x =
(sin²x + cos²x)² - 2(sinxcosx)² = 1 - 2* (- ¼)² = 1 - ⅛ = ⁷/₈
korzystamy z wzoru skróconego mnożenia
(sin²x + cos²x)² = sin⁴x + 2sin²xcos²x + cos⁴x
(korzystamy z przykładu a)
sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x)
sinx*cosx = - ¼

b)sinx + cosx = ¹/√₂
Isinx - cosxI = √(sinx - cosx)² (wyrażenie (sinx-cosx)² pod pierwiastkiem, √a² =IaI)
obliczamy
(sinx - cosx)² = sin²x - 2sinxcosx + cos²x =
sin²x + cos²x - 2sinxcosx = 1 -2*(- ¼) = 1 + ½ = ³/₂
√(sinx - cosx)² = √(³/₂) = (√⁶)/₂
czyli
Isinx - cosxI = (√⁶)/₂
(korzystamy z przykładu a)
sinx*cosx = ½(sinx + cosx)² - ½(sin²x + cos²x)
sinx*cosx = - ¼