Question

Pewna liczba daje przy dzieleniu przez 4 resztę 3, zaś przy dzieleniu przez 5 resztę 4. Wyznacz resztę z dzielenia tej liczby przez 20

Answer 1

 

m ---------to nasza liczba

m = 5a+4

m=4b+3

 

a,b należą do N

 

m= 20c+r , r należy (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19)

 

20c+r = 5a+4 to 5(4c-a)=4-r czyli r należy (4,9,14,19)

ale

20c+r = 4b+3 to 4(5c+b) = 3-r czyli r należy (3,7,11,15,19)

czyli r=19, bo jest częścią wspólną tych 3 trzech przedziałów

czyli przy dzieleniu przez 20 -----------reszta = 19

Answer 2

a - pewna liczba

 

a przy dzieleniu przez 4 daje reszte 3, to liczbę a możemy zapisac w postaci:
a = 4n + 3, gdzie n jest pewną liczbą naturalną

 

a przy dzieleniu przez 5 daje reszte 4, to liczbę a możemy zapisac w postaci:
a = 5k + 4, gdzie k jest pewną liczbą naturalną

 

{a = 4n + 3  /·5

{a = 5k + 4  /·(-4)

 

{5a = 20n + 15

{- 4a = - 20k - 16

________________

 

5a - 4a = 20n - 20k + 15 - 16

a = 20n - 20k - 20 + 20 + 15 - 16

a = 20·(n - k - 1) + 19

 

Zatem a przy dzieleniu przez 20 daje resztę 19

 

 

------------------------------------------

Dodatkowe wyjaśnienie:

W dowolnej liczbie naturalnej „mieści sie” wiecej wielokrotności liczby 4 niż wielokrotności 5, czyli

n ≥ k + 1

n - k -1 ≥ 0

Zatem: n - k - 1 ∈ N